原函数与导函数之间的性质探讨

492010年Vol.25No.11一、引言在一元函数微分学及积分学中，原函数及导函数是两个相互关联的重要概念。同时，求导及积分运算也是高等数学的最基本的运算，它们在计算上是互逆的，而理论上，泰勒定理和微积分基本公式揭示了它们之间的关系，关于原函数与导函数的研究有很多，如原函数与导函数对称性的联系[1]，周期函数的导数的周期性探讨[2]等等，介绍并证明了两个定理：定理1：已知是可导的周期为T的函数，则其导函数也为周期T的函数。定理2：如果函数是可导的偶函数，则其导函数必为奇函数；如果函数是可导的奇函数，则其导函数必为偶函数。研究介绍了上述定理的逆命题，笔者将之证明如下：逆命题1：设函数是一个周期为T的函数，为它的一个原函数，则当且仅当时，有周期T。证明：“必要性”若有周期T，则有，取，即得。“充分性”由于，又已知，故，，即有周期T。＃逆命题2：设函数为奇函数，为它的一个原函数，则是偶函数；反之，设函数为偶函数，为它的一个原函数，则当且仅当时，为奇函数。证明：若为奇函数，则，即，为偶函数。设为偶函数，则若为奇函数，显然有。若，则由于，所以有，即为奇函数。＃对于原函数及导函数的奇偶性及周期性的研究有很多，但是与的连续性如何？对这一问题，笔者在本文中也将作进一步的探讨。二、命题及证明通过研究并查证了一些相关资料，有下面的结论：命题1：已知函数是可导的偶函数，是可导的奇函数，则是可导的偶函数，且其导函数是奇函数。证明：因，故，即是偶函数，从而其导函数为奇函数。＃命题2：若为可导的周期函数，并且其导函数存在最小正周期，则的最小正周期存在且等于；反之若可导函数存在最小正周期，则其导函数的最小正周期存在且等于；若为连续的常函数，则与其导函数都没有最小正周期。[2]命题3：设是连续的周期函数，周期为T，则，即与没有关系。证明：利用积分对区间的可加性，有，而代入上式，可得命题4：设是奇函数，只有有限个不连续点，且是其第一类间断点，则是连续的偶函数，进一步的，的所有原函数都是连续的偶函数。证明：对于任意，存在，使得由条件可知在上有界，设()，记当时，有，故时，即在处连续；又．所以是连续的偶函数，又设为的任一原函数，而由可知也是连续的偶函数。#注：若上述的是偶函数，同理可得是连续的奇函数：．命题5：设在上连续，则[3]由于当是奇函数，有，进一步地有推论1：设在上连续，且满足条件，则有证明：，而，所以更进一步地收稿日期：2010-11-05作者简介：姜东华（1979-），女，福建永定人，从事高等数学方向的教学及研究。原函数与导函数之间的性质探讨姜东华（龙岩学院数学与计算机科学学院福建龙岩364000）摘　要：对原函数与导函数的周期性、奇偶性及连续性进行探讨，给出了若干个命题及相应的证明，同时以一些例子给出了它们在具体问题中的应用。关键词：原函数；导函数；周期性；奇偶性；连续性中图分类号：O174文献标识码：A文章编号：1008-6757（2010）11-0049-01南昌教育学院学报高等教育（下转第51页）512010年Vol.25No.11宋书楠　胡　艳：关于高校旅游专业基础课教学两难境地的思考专业能力，提高专业素质。而对于其他非管理类旅游专业如旅游教育专业等，则不必将教学重点放在管理上，可以直接开设旅游经济学和旅游管理学等课程，在教学过程中教师要适当讲解经济学和管理学的基本体系和原理，使学生全面了解专业基础课的理论基础。也可以为有兴趣的学生开设选修课经济学和管理学。(二)积极进行教材及相关资料的建设旅游专业基础课教材的建设迫在眉睫。应针对不同的教学对象编写教材，有面向旅游管理专业的，也有面向非管理类旅游专业的；有必修课用的，也有选修课用的。另外教材的建设永远是落后于社会实践的发展的，因此还应建立公开的旅游专业基础课教学资料库，如电子教学案例、参考资料、学生的参考书籍、练习思考题等。建立专业教师联系群，相互学习、相互沟通、资料共享。旅游专业的课程不同于传统的大类学科，需要及时补充和更新教学资料，因此旅游专业的教学资料建设难度更大，要求更高，这就需要相关的机构组织专门的人员来负责此方面的工作。高等教育出版社在教材的出版和教辅资料的建设方面做了许多工作，可以借鉴。(三)加强教学管理学校应该将教学作为重点，科研与教学应该是相辅相成的。应建立相应的机制，鼓励教师在教学上下功夫，回归教师的本职。切实加强教学管理，提高教学质量。扩大精品课的范围，带动教学质量的全面提高。建立有效的听课和评课制度，加强教师之间的相互监督、相互学习和交流。加强课程之间的协调与配合。教学中有交叉或相关内容的教师之间要建立经常地联系，以便了解相关课程的教学。使每一课程都重点突出，减少教学内容的重复。同时要加强对学生的管理。旅游专业基础课是学生反映出来的问题较多的一类课，反映了这些课的难度较大，又比较抽象，不利于理解。只有让学生正确认识这些课程的重要性，才能获得良好的教学效果。(四)合理引进和安排师资高校旅游专业引进教师时要考虑教师的学科背景，最好是即有旅游专业背景也有其他学科基础的教师，这些教师即有深厚的基础学科的功底，又能较为广泛地了解本专业的内容。他们处理旅游专业基础课的两难问题的知识基础更好，有利于问题的解决。另外任何教师都有自己擅长的研究领域，教学课程的安排尽量与其研究领域相符，实现科研和教学的有机结合，努力避免教学与研究的冲突，节省教学资源。旅游专业是与社会实践紧密联系的专业，旅游高校可以适当聘用实践经验丰富的旅游业从业者，配合本校教师共同讲授一门课，这样即保证了学生理论基础的把握，又丰富了学生的视野，使他们更接近社会实践。同时也要为高校教师适当参与相关社会实践创造条件。通过社会实践教师能够以市场需求为导向进一步深化教学内容，加强教学中理论与实践的联系，避免闭门造车，自成一体。四、结语高校旅游专业基础课教学中的两难问题实质上是旅游业边缘性的影响，这种两难问题会一直存在。如何解决这一问题对于提高旅游专业的整体教学质量具有重要意义。教学单位应以学生为导向从管理角度建立合理的教学管理机制，优化课程体系，加强教材建设和师资队伍建设，从根本上提高整个教学系统解决两难问题的能力，切实提高学生的培养质量，更好地服务社会。参考文献：[1]田里,吕天云.比较视野中的旅游专业教育教学定位[J].旅游科学,2008(3):59-62.[2]邹统钎,刘军,王小方.高等旅游专业人才“钻石型”培养模式研究[J].北京第二外国语学院学报,2009(11):79-82.[3]李萌.本科层次旅游人才培养模式的创新[J].旅游学刊,2008(2):8-9.OntheteachingdilemmaoftheprofessionalbasiccoursesintourisminuniversitiesSongShu-nan,HuYan（LiaoningNormalUniversity,DalianLiaoning,116022,China;DalianInstituteofTechnology,DalianLiaoning,116031,China）Abstract:Becauseofthesynthesisoftourismthereisateachingdilemmaofprofessionalbasiccoursesinuniversities.Thearticleanalysesthecausesofthedilemma,andgivesadvicestotheteachingreform.Keywords:professionalbasiccoursesoftourism;teaching;dilemma;reform［责任编辑：周志媛］推论2：设，在上连续，为偶函数，且满足条件，则有如果在内可导，则在内连续[3]。那什么情况下导函数也连续呢？下面给出这方面的命题。命题6：设函数在内可导，且单调，则在内连续。证明：设为的间断点，由于在上单调，故，都存在且有限，且及也存在．因为在点处可导，故在点处连续，由导数极限定理，有所以在点连续，这与为的间断点矛盾，故在内连续。有了以上的结论，以后我们在研究这些方面的问题时，如果直接解决问题很麻烦，就可以换个角度来考虑。参考文献：[1]于先金.关于原函数与其导数对称性的联系[J].中学数学研究,2008(3):30-30.[2]陈佩宁,王保平.周期函数导数的周期性探讨[J].石家庄职业技术学院学报,2003(6):14-15.[3]徐森林,薛春华编著.数学分析[M].清华大学出版社,2005.9.DiscussionofthecharacterofobjectfunctionandderivedfunctionJiangDong-hua（LongyanUniversityCollegeofMathematicsandComputerScience,LongyanFujian,364000,China）Abstract:Thispaperdiscussestheperiodicity、parityandcontinuityofobjectfunctionandderivedfunction，giveumptypropositionsandthecorrespondingproof．Keywords:objectfunction;derivedfunction;periodicity;parity;continuity［责任编辑：龚雅玲］（上接第49页）