七年级下册数学整式的乘除与因式分解知识点+习题

1整式的乘除与因式分解1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。bca22的系数为，次数为，单独的一个非零数的次数是。2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。122xaba，项有，二次项为，一次项为，常数项为，各项次数分别为，系数分别为，叫次项式。3、整式：单项式和多项式统称整式。注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。4、多项式按字母的升（降）幂排列：1223223yxyyxx按x的升幂排列：按y的升幂排列：按x的降幂排列：按y的降幂排列：5、同底数幂的乘法法则：mnmnaaa（nm,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。例1.若6422a，则a=；若8)3(327n，则n=.例2.若125512x，则xx2009)2(的值为。例3.设4x=8y-1,且9y=27x-1,则x-y等于。6、幂的乘方法则：mnnmaa)(（nm,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：10253)3(幂的乘方法则可以逆用：即mnnmmnaaa)()(如：23326)4()4(47、积的乘方法则：nnnbaab)(（n是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。（523)2zyx=8、同底数幂的除法法则：nmnmaaa（nma,,0都是正整数，且)mn同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：3334)()()(baababab9、零指数和负指数；10a，即任何不等于零的数的零次方等于1。ppaa1（pa,0是正整数），即一个不等于零的数的p次方等于这个数的p次方的倒数。如：81)21(23310、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。注意：①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。2②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。如：xyzyx323211、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即mcmbmacbam)((cbam,,,都是单项式)注意：①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。如：)(3)32(2yxyyxx=12、多项式与多项式相乘的法则:多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。如：(32)(3)abab13、单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。如：bamba242497=14、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。即：()ambmcmmammbmmcmmabc例1.（a－61b）（2a＋31b）（3a2＋121b2）；例2.[（a－b）（a＋b）]2÷（a2－2ab＋b2）－2ab．例3.已知x2＋x－1＝0，求x3＋2x2＋3的值．15、平方差公式：22))((bababa注意平方差公式展开只有两项如：))((zyxzyx=16、完全平方公式：2222)(bababaabbaabbaba2)(2)(2222abbaba4)()(22222)()]([)(bababa222)()]([)(bababa完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。※17、三项式的完全平方公式：bcacabcbacba222)(22223例1.利用平方差公式计算：22007200720082006例2.广场内有一块边长为2a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少？例3.（1）,21xx求221xx的值。（2）,16)(2yx4)(2＝yx，求xy的值。18、因式分解：常用方法：提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法……A.提公因式法：式子中有公因式时，先提公因式。例1.把2105axaybybx分解因式．分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降幂排列，然后从两组分别提出公因式2a与b，这时另一个因式正好都是5xy，这样可以继续提取公因式．解：2105axaybybx说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试．例2.把2222()()abcdabcd分解因式．分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式．解：2222()()abcdabcd=说明：由例2、例1可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用。B.公式法：根据平方差和完全平方公式分解因式22925xy4C.配方法：分解因式2616xx说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．当然，本题还有其它方法，请大家试验．D.十字相乘法：（1）．2()xpqxpq型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1)二次项系数是1；(2)常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数之和．22()()()()()xpqxpqxpxqxpqxxpqxpxpxq因此，2()()()xpqxpqxpxq运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．例1.把下列各式因式分解：(1)276xx(2)21336xx说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同．例2.把下列各式因式分解：(1)2524xx(2)2215xx说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同．例3.把下列各式因式分解：(1)226xxyy(2)222()8()12xxxx5分析：(1)把226xxyy看成x的二次三项式，这时常数项是26y，一次项系数是y，把26y分解成3y与2y的积，而3(2)yyy，正好是一次项系数．(2)由换元思想，只要把2xx整体看作一个字母a，可不必写出，只当作分解二次三项式2812aa．（2）一般二次三项式2axbxc型的因式分解大家知道，2112212122112()()()axcaxcaaxacacxcc．反过来，就得到：2121221121122()()()aaxacacxccaxcaxc我们发现，二次项系数a分解成12aa，常数项c分解成12cc，把1212,,,aacc写成1122acac，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221acac，如果它正好等于2axbxc的一次项系数b，那么2axbxc就可以分解成1122()()axcaxc，其中11,ac位于上一行，22,ac位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．例4.把下列各式因式分解：(1)21252xx(2)22568xxyy说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．提高练习1．（2x2－4x－10xy）÷（）＝21x－1－25y．2．若x＋y＝8，x2y2＝4，则x2＋y2＝_________．3．代数式4x2＋3mx＋9是完全平方式,则m＝___________．4.2013201421.53___________5.若22210abb，则22abab=。6.（－a＋1）（a＋1）（a2＋1）=。7.一个正方形的边长增加4cm，面积就增加56cm2，原来正方形的边长为。8．（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－401632=。9．（1）（4x＋3y）2－（4x－3y）2（2）（x2－2x－1）（x2＋2x－1）；610．求（1－221）（1－231）（1－241）…（1－291）（1－2011）的值．11．已知x＋x1＝2，求x2＋21x，x4＋41x的值．12．已知（a－1）（b－2）－a（b－3）＝3，求代数式222ba－ab的值．13．若（x2＋px＋q）（x2－2x－3）展开后不含x2，x3项，求p、q的值．