数列高考复习(3)精选教学PPT课件

考纲要求考情分析1.理解等比数列的概念．2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4.了解等比数列与指数函数的关系.1.从考查内容看，高考主要考查等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及其性质，等比数列的综合问题也是考查的热点．2.从考查题型看，三种题型都可以出现，选择题、填空题侧重对定义、通项公式、性质的考查，或利用方程思想求一些基本元素；解答题注重综合性，难度中等偏上.一、等比数列的基础知识相关名词等比数列{an}的有关概念及公式定义an＋1an＝q(常数)(n∈N*)或anan－1＝q(n∈N*且n≥2)(q≠0)通项公式an＝_____________________前n项和公式等比中项设a、b为任意两个同号的实数，则a、b的等比中项G＝a1qn－1＝amqn－m±abb2＝ac是a，b，c成等比数列的什么条件？提示：b2＝ac是a，b，c成等比数列的必要不充分条件．∵当b＝0时，且a，c至少有一个为0时，满足b2＝ac，但a，b，c不成等比数列，反之，若a，b，c成等比数列，则必有b2＝ac.二、等比数列的性质1．等比数列的单调性设等比数列的首项为a1，公比为q.(1)当q1，a10或0q1，a10时，数列{an}为数列．(2)当q1，a10或0q1，a10时，数列{an}为数列．(3)当q＝1时，数列{an}是；(4)当q0时，数列{an}是摆动数列．递增递减常数列2．等比数列的通项公式及前n项和公式的性质(1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq(m，n，p，q∈N*)．(2)若等比数列{an}的项数为2n，则S偶S奇＝q，其中S偶，S奇分别是数列的偶数项的和与奇数项的和．(3)若数列{an}，{bn}是等比数列，则{can}，1an，{a2n}，{|an|}，{anbn}，anbn等也是等比数列，其中c是不等于零的常数．1．若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为()A．2B．4C．8D．16解析：令n＝1，得a1a2＝16①令n＝2，得a2a3＝162②②÷①，得a3a1＝16，q2＝16，∴q＝±4.又由①知q0，∴q＝4.答案：B2．设数列{an}，{bn}分别为等差数列与等比数列，且a1＝b1＝4，a4＝b4＝1，则以下结论正确的是()A．a2b2B．a3b3C．a5b5D．a6b6解析：设等差数列的公差为d，等比数列公比为q，由a1＝b1＝4，a4＝b4＝1，得d＝－1，q＝322，于是a2＝3b2＝232.答案：A3．已知等比数列{an}中，an0，a10a11＝e，则lna1＋lna2＋…＋lna20的值为()A．12B．10C．8D．e解析：lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln[(a1a20)·(a2a19)…(a10a11)]＝lne10＝10.答案：B4．设等比数列{an}的公比q＝12，前n项和为Sn，则S4a4＝________.解析：a4＝a1123＝18a1，S4＝a11－1241－12＝158a1，∴S4a4＝15.答案：155．已知{an}是递增等比数列，a2＝2，a4－a3＝4，则此数列的通项公式an＝________.解析：由题意得2q2－2q＝4，解得q＝2或q＝－1.又{an}单调递增，得q1，∴q＝2.∴an＝a2qn－2＝2×2n－2＝2n－1.答案：2n－1【考向探寻】1．等比数列的判定．2．求等比数列的通项公式．3．利用等比数列的通项公式解决问题．等比数列的基本运算【典例剖析】(1)(2013·长春模拟)已知等比数列{an}的前6项和为S6＝21，且4a1,2a2，a3成等差数列，则an等于A．3·2n－1B．2n－13C．3·2nD．3·21－n(2)(理)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.①设bn＝an＋1－2an，求证：数列{bn}是等比数列；②求数列{an}的通项公式．(2)(文)数列{an}的前n项和为Sn，若an＋Sn＝n，cn＝an－1.①求证：数列{cn}是等比数列；②求数列{an}的通项公式．(1)由条件求出a1，q，然后求an.(2)(理)①利用an＋1＝Sn＋1－Sn探求an＋1与an的关系，并构造bn＝an＋1－2an证明即可．②先求出bn，然后构造数列an2n解题．(2)(文)①利用an＋1＝Sn＋1－Sn探求an＋1与an的关系，并构造cn＝an－1来证明；②先求出cn,然后求an.(1)解析：设{an}的公比为q，由题可知q≠1，∴a11－q61－q＝21，4·a1q＝4a1＋a1q2可得a1＝13，q＝2，∴an＝13·2n－1＝2n－13.答案：B(2)(理)解：①证明：∵Sn＋1＝4an＋2，∴Sn＝4an－1＋2(n≥2)，∴an＋1＝4an－4an－1，∴an＋1－2an＝2an－4an－1＝2(an－2an－1)，又∵bn＝an＋1－2an，∴bn－1＝an－2an－1，∴bn＝2bn－1.又∵a1＝1，Sn＋1＝4an＋2，∴S2＝4a1＋2＝6，∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3，∴{bn}是以3为首项，2为公比的等比数列．②解：由①可得bn＝3×2n－1，∴an＋1－2an＝3×2n－1，∴an＋12n＋1－2an2n＋1＝3×2n－12n＋1，∴an＋12n＋1－an2n＝34.又a121＝12，∴an2n是以12为首项，34为公差的等差数列，∴an2n＝12＋(n－1)×34＝3n－14，∴an＝3n－14·2n＝(3n－1)·2n－2.(2)(文)解：①证明：∵a1＝S1，an＋Sn＝n，∴a1＋S1＝1，得a1＝12，∴c1＝a1－1＝－12，又an＋1＋Sn＋1＝n＋1，∴an＋1－an＋Sn＋1－Sn＝1.即2an＋1－an＝1，∴2(an＋1－1)＝an－1，∴an＋1－1an－1＝12，即cn＋1cn＝12，∴{cn}是以－12为首项，以12为公比的等比数列．②由①知cn＝－12·12n－1＝－12n，∴an－1＝－12n，∴an＝1－12n.等比数列的判定方法有(1)定义法：若an＋1an＝q(q为非零常数)或anan－1＝q(q为非零常数且n≥2)，则{an}是等比数列．(2)中项公式法：若数列{an}中，an≠0且a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均为不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空中．若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比即可．【活学活用】1．已知{an}是首项为a1，公比q(q≠1)为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且有5S2＝4S4，设bn＝q＋Sn.(1)求q的值；(2)数列{bn}能否是等比数列？若是，请求出a1的值；若不是，请说明理由．解：(1)由题意知5S2＝4S4，S2＝a11－q21－q，S4＝a11－q41－q，∴5(1－q2)＝4(1－q4)，得q2＋1＝54.又q0，∴q＝12.(2)方法一：∵Sn＝a11－qn1－q＝2a1－a112n－1，于是bn＝q＋Sn＝12＋2a1－a112n－1，若{bn}是等比数列，则12＋2a1＝0，即a1＝－14，此时，bn＝12n＋1，∵bn＋1bn＝12n＋212n＋1＝12，∴数列{bn}是等比数列，所以存在实数a1＝－14，使数列{bn}为等比数列．方法二：由于bn＝12＋2a1－a112n－1，所以b1＝12＋a1，b2＝12＋32a1，b3＝12＋74a1，若数列{bn}为等比数列，则b22＝b1·b3，即12＋32a12＝12＋a112＋74a1，整理得4a21＋a1＝0，解得a1＝－14或a1＝0(舍去)，此时bn＝12n＋1.故存在实数a1＝－14，使数列{bn}为等比数列.【考向探寻】1．求等比数列的前n项和．2．利用等比数列的前n项和公式解决问题．等比数列的前n项和【典例剖析】(1)(2013·莆田模拟)设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，若S4＝1，则S8等于A．17B．117C．5D．15(2)已知数列{an}中，a1＝1，前n项和为Sn，对任意的自然数n≥2，an是3Sn－4与2－32Sn－1的等差中项．①求{an}的通项公式；②求Sn.(1)写出S4，S8的表达式→两式作比，化为S4、S8与q的关系→S8；(2)①等差中项得到an与Sn关系→利用an＝Sn－Sn－1解题→an②根据an的表达式→Sn.(1)解析：∵S4＝a11－q41－q，S8＝a11－q81－q，∴S8S4＝1－q81－q4＝1－281－24＝25515＝17，∴S8＝17S4＝17.答案：A(2)解：①由已知，当n≥2时，2an＝(3Sn－4)＋(2－32Sn－1)，又an＝Sn－Sn－1，∴an＝3Sn－4(n≥2)．∴an＋1＝3Sn＋1－4.两式相减得an＋1－an＝3an＋1，∴an＋1an＝－12.∴a2，a3，…，an，…成等比数列，其中a2＝3S2－4＝3(1＋a2)－4，即a2＝12，q＝－12，∴当n≥2时，an＝a2qn－2＝12－12n－2＝－－12n－1.即an＝1n＝1－－12n－1n≥2.②方法一：当n≥2时Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋(a2＋…＋an)＝1＋121－－12n－11－－12＝1＋131－－12n－1＝43－13－12n－1，当n＝1时S1＝1＝43－13－120也符合上述公式．∴Sn＝43－13－12n－1.方法二：由(1)知n≥2时，an＝3Sn－4，即Sn＝13(an＋4)，∴n≥2时，Sn＝13(an＋4)＝－13－12n－1＋43.又n＝1时，S1＝a1＝1亦适合上式．∴Sn＝43－13－12n－1.等比数列前n项和问题(1)等比数列前n项和公式为Sn＝na1q＝1a11－qn1－q＝a1－anq1－qq≠1.①能“知三求二”；②注意讨论公比q是否为1；③a1≠0.(2)前n项和的性质：设Sn是等比数列{an}的前n项和，则：①Sn，S2n－Sn，S3n－S2n满足关系式(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)，但不能说Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．②若数列{an}的项数为2n，则S偶S奇＝q，其中S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和．若数列{an}的前n项和Sn＝Aqn＋B，则数列{an}为等比数列的充要条件是A＋B＝0.【活学活用】2．(1)已知正项数列{an}为等比数列，且5a2是a4与3a3的等差中项，若a2＝2，则该数列的前5项的和为()A.3312B．31C.314D．以上都不正确解析：设{an}的公比为q，q0.由已知得a4＋3a3＝2×5a2＝10a2，即a2q2＋3a2q＝10a2,2q2＋6q＝20，解得q＝2或q＝－5(舍去)，则a1＝1，所以S5＝a11－q51－q＝1×1－251－2＝31.答案：B(2)(2013·芜湖模拟)已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S