三角恒等变换讲义

1/4三角恒等变换讲义一、【知识梳理】：1．两角和与差的三角函数公式2．二倍角公式：sin2α＝2sinαcosα；tan2α＝2tanα1－tan2α.cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；3．公式的变形与应用(1)两角和与差的正切公式的变形tanα＋tanβ＝tan(α＋β)/(1－tanαtanβ)；tanα－tanβ＝tan(α－β)/(1＋tanαtanβ)．(2)升幂公式：1＋cosα＝2cos2α2；1－cosα＝2sin2α2.(3)降幂公式：sin2α＝1－cos2α2；cos2α＝1＋cos2α2.(4)其他常用变形sin2α＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanα1＋tan2α；cos2α＝cos2α－sin2αcos2α＋sin2α＝1－tan2α1＋tan2α；1±sinα＝sinα2±cosα22；tanα2＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.4．辅助角公式asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中cosφ＝aa2＋b2，sinφ＝ba2＋b2.5．角的拆分与组合(1)已知角表示未知角例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，α＝π4＋α－π4＝α－π3＋π3.(2)互余与互补关系：例如，π4＋α＋3π4－α＝π，π3＋α＋π6－α＝π2.(3)非特殊角转化为特殊角：例如，15°＝45°－30°，75°＝45°＋30°.三、方法归纳总结：1.三角函数式的化简遵循的三个原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”．(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．2．三角函数求值的类型及方法(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角2/4总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．备注：在求值的题目中，一定要注意角的范围，要做到“先看角的范围，再求值”．四、典例剖析：题型一、【公式顺用、逆用、变用】例1、sin20°cos10°－cos160°sin10°＝()A．－32B.32C．－12D.122．设sin2α＝－sinα，α∈π2，π，则tan2α的值是________．3、若3tan4，则2cos2sin2（）(A)6425(B)4825(C)1(D)16254、已知α∈R，sinα＋2cosα＝102，则tan2α＝________5．如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin∠CED＝()A.31010B.1010C.510D.515专题二、【三角恒等变换】例2、1．（1）、2cos10°－sin20°sin70°=________．（2）、：00000080cos15cos25sin10sin15sin65sin=________.3/4变式：（1）、4cos50°－tan40°＝()A.2B.2＋32C.3D．22－1（2)、3tan12°－3（4cos212°－2）sin12°＝________.专题三：【凑角应用】例3、已知0βπ4α34π，135)43sin(,53)4cos(，求)sin(的值．知识小结：解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(3)常见的配角技巧：α＝2·α2；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；β＝12[(α＋β)－(α－β)]；π4＋α＝π2－π4－α.变式1、若0＜α＜π2，π2＜β＜3π2，cosπ4＋α＝13，cosπ4－β2＝45，则cosα＋β2＝________.变式2、已知tan2，1tan7，则tan的值为_______.变式3、已知0＜α＜π4，0＜β＜π4且3sinβ＝sin(2α＋β),4tanα2＝1－tan2α2，求α＋β的值．分析：由α2的关系可求出α的正切值．再依据已知角β和2α＋β构造α＋β，从而可求出α＋β的一个三角函数值，再据α＋β的范围，从而确定α＋β.评析：首先由4tanα2＝1－tan2α2的形式联想倍角公式求得tanα，再利用角的变换求tan(α＋β)，据α、β的范围确定角α＋β.求角的问题的关键是恰当地选择一个三角函数值，再依据范围求角，两步必不可少．4/4题型四、【三角恒等变换的综合运用】1、当20x时，函数xxxxf2sinsin82cos1)(2的最小值为（）CA．2B．32C．4D．342．设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝________．3、已知函数22sinsin6fxxx，Rx(I)求()fx最小正周期；(II)求()fx在区间[,]34上的最大值和最小值.4、已知函数f(x)＝Asinx＋π4，x∈R，且f5π12＝32.①求A的值；②若f(θ)＋f(－θ)＝32，θ∈0，π2，求f3π4－θ.【点拨】解题(1)的关键是准确利用平方关系及诱导公式进行转化；解题(2)的关键是利用诱导公式进行转化或利用“切化弦”；解题(3)的思路是①由f5π12的值直接求出A的值；②化简f(θ)＋f(－θ)＝32可得cosθ的值，由同角三角函数的基本关系及角的范围可求得sinθ，再化简f3π4－θ可得答案．5、已知tan2．（1）求tan4的值；（2）求2sin2sinsincoscos21的值．