数学物理方法-第8章-分离变数法

第八章分离变数法分离变数法在数学物理方程中的地位:分离变数法是求解数学物理定解问题的基本方法，是贯穿数学物理方程内容的主要线索，本章以分离变数法为主线，结合傅里叶级数法研究求解一维自由波动方程、一维无源输运方程、直角坐标系中二维无源稳定场方程的方法。引言§8.1分离变数法详析一、分离变数法介绍长为、两端固定的均匀弦的自由微小横振动的定解问题l02xxttuaulx00t00lxxuu0t)(0xut)(0xuttlx0,,即令：)()(),(tTxXtxu代入定解问题中试解0)()()()(2xXtTaxXtT两边同除于)()(2tTxXa)()()()(2tTatTxXxX把偏微分方程转化为易以求解的常微分方程，从而找出满足边界条件与初始条件的解。思路：2()()()()XxTtXxaTt为常数0)()()()0(tTlXtTX又由边界条件：2()()0TtaTtT(t)：0)()(xXxXX(x)：0)()0(lXX()()0(0)()0XxXxXXlX(x)：2()()0TtaTtT(t)：讨论：（1）0xxececxX21)(考虑边界条件得：021cc0)(xX不存满足边界条件的、非零的可分离变数形式的特解0(2)21)(cxcxX考虑边界条件得：021cc0)(xX不存满足边界条件的、非零的可分离变数形式的特解(3)0xcxcxXcossin)(210)()0(lXX由02c0sin1lc要有非零解，必须：01c0sinl222ln,3,2,1nlxncxXsin)(1latnBlatnAtTsincos)(lxnlatnBlatnAtxunnnsin)sincos(),(,3,2,1n满足给定边界条件的可分离变数形式的特解为：lxnlatnBlatnAtxunnnsin)sincos(),(1由于泛定方程是线性齐次方程，因此这些特解的线性叠加，仍然是泛定方程满足给定的边界条件的解。一般解nAnB取决于初始状态nAnB的确定：)(sin10xlxnAunnt10)(sinnnttxlxnBlanulx0lndxlxnxlA0sin)(2lndxlxnxanB0sin)(2综上，长为、两端固定、均匀弦的自由微小横振动问题的解：llxnlatnBlatnAtxunnnsin)sincos(),(1lndxlxnxlA0sin)(2lndxlxnxanB0sin)(2二、两端固定的弦振动解的物理意义1.本征解、本征振动lxnlatnBlatnAtxunnnsin)sincos(),(,3,2,1n本征解本征振动：本征解描述两端固定的弦固有的振动方式。2.行波的一般表示)(atxf)(atxf时刻1t时刻2tP1P2x2x1x表示以速率沿正向传播的行波ax3.本征解是驻波解lxnlatnBlatnAtxunnnsin)sincos(),(lxnlatnBAnnnsin)cos(22]2)(sin[]2)(sin[222nnnnatxlnatxlnBAnnnAB1tan其中4.驻波形成条件驻波的波长只能取特定值。nl2nl2驻波的波长只能取某些特定值a驻波的相位传播速率lanlna22驻波的角频率•基波1n•高次谐波1n三、分离变数法的适用范围分离变数法仅适用于求解具有齐次泛定方程和齐次边界条件的定解问题。若定解问题的泛定方程非齐次，或边界条件非齐次，必须用其它办法将边界条件和泛定方程转换成齐次的，然后应用分离变数法求解。四、分离变数法求解定解问题的基本步骤线性齐次的偏微分方程分离变数常微分方程1常微分方程2齐次边界条件分离变数条件解1解2本征解（解1＊解2）本征值本征解定解问题的解本征值本征函数初始条件确定叠加系数五、付里叶级数法02xxttuau代入方程1222120sin))((sin)(nnnnlxnlntTalxntT1sin)(),(nnlxntTtxulx0令0sin)]()([22221lxntTlantTnnnlx00)()(2222tTlantTnn1nlatnBlatnAtTnnnsincos)(1sin]sincos[),(nnnlxnlatnBlatnAtxulx0——与采用分离变数法所得结果一致。§8.2直角坐标系中有界空间上的齐次泛定方程例1：两端自由的均匀杆的纵振动问题02xxttuaulx00t00lxxxxuu0t)(0xut)(0xuttlx000lxxxxuu),(txu解：由边界条件，把展开为傅里叶余弦级数可满足此条件，010cos)(cos)()(),(nnnnlxntTlxntTtTtxu代入02xxttuaulx00t022220cos)]()([nnnlxntTlantT得lx00)()(2222tTlantTnn0n0sincos0)(00nlatnBlatnAntBAtTnnn100cos]sincos[),(nnnlxnlatnBlatnAtBAtxu由初始条件100)(cosnntxlxnAAulx0100)(cosnnttxlxnlanBBulx0ldxxlA00)(1lndxlxnxlA0cos)(2ldxxlB00)(1lndxlxnxanB0cos)(2，，【讨论】本征解与泛定方程、边界条件类型的关系的解本征值问题的解本征值问题的微分方程分离变数边界条件泛定方程两端自由的杆的纵振动两端固定的弦的横振动)(tT02xxttuau02xxttuau00lxxuu00lxxxxuu)()(),(tTxXtxu)(tT0)()(2tTatT0)()(2tTatT0)()(xXxX0)()0(lXX0)()(xXxX0)()0(lXXlxnxXsin)(222ln,2,1n1)(xXlxncos222ln,2,1,0nlatnBlatnAtTnnsincos)(tBAtT00)(latnBlatnAnnsincos0n1n例2：研究细杆导热问题，初始时刻杆的一端温度为零度，另一端温度为，杆上温度梯度均匀，零度的一端保持温度不变，另一端跟外界绝热。试求细杆上温度的变化。0u解:不妨设端为温度保持零度的端，即端与外界绝热，即0x00xu0lxxu本导热问题可表示为:xluut00lx002xxtuaulx00t00lxxxuu0t【解法一】分离变数法)()(),(tTxXtxu令)()()()(2xXxXtTatT0)()()()0(tTlXtTX0)()(2tTatT0)()(xXxX0)()0(lXX0当时xxececxX21)(0)()0(lXX021cc021llecec齐次方程组只有零解0)(xX12(0)cc无意义。0当时21)(cxcxX0)()0(lXX02c01c0)(xX无意义0当时xcxcxXsincos)(210)()0(lXX01c0cos2lc齐次方程组有非零解02c0cosl22221)(ln,2,1,0nlxncxX)(sin)(212222221)()(ltanAetT021)()(sin),(222221nltannlxneAtxuxluut00xlulxnAunnt00210)(sin100222102()2(1)2sin()nlnnxuuAxdxllln021)(22120)(sin)()1(2),(222221nltannlxnenutxu【解法二】付里叶级数法把x),0(l)(xf0)()0(lff限制在上得满足边界条件的傅里叶级数021)(sin)(nnlxnbxflndxlxnxflb021)(sin)(2),(txu展开为傅里叶级数021)(sin)(),(nnlxntTtxu代入一维无源热传导方程得：021)(sin)(),(nnlxntTtxu0212222210)(sin)()()(nnnlxntTlantT222221)()(ltannneAtT解得021)()(sin),(222221nltannlxneAtxu则与分离变数法相同【讨论】，的解本征值问题的解本征值问题的微分方程分离变数边界条件泛定方程本例（热传导问题）两端固定的弦的横振动02xxttuau02xxtuau00lxxuu00lxxxuu)()(),(tTxXtxu0)()(2tTatT)(tT)(tT0)()(2tTatTlxnxXsin)(0)()(xXxX0)()0(lXX0)()(xXxX0)()0(lXX222ln,2,1nlxnxX)(sin)(2122221)(ln,2,1,0nlatnBlatnAtTnnsincos)(tlanneAtT222221)()(例3：细杆导热问题。杆的初始温度是均匀的，保持杆的一端的温度为不的，至于另一端则有强度恒定的热流流入。0u0u0q解：，，0t00uuxkqulxx002xxtuaulx00t00uutlx0因边界条件非齐次，必须将其转换为齐次边界条件，才能应用分离变数法。),(txv设是满足02xxtvavlx00t00uvxkqvlxx00t的特解),(),(),(txwtxvtxu令此时泛定方程是齐次的、边界条件也是齐次的),(),(00txwxkqutxu令的定解问题转换为的定解问题),(txu),(txw02xxtwawlx00t00xw0lxxw0txkqwt00lx0021)()(sin),(222221nltannlxneAtxw00210)(sinnntxkqlxnAw100222102()2(1)2()sin()nlnnxqqlAxdxlklkn021)(22120)(sin)()1(2),(222221nltannlxnenklqtxw021)(2212000)(sin)()1(2),(222221nltannlxnenklqxkqutxu例4：如图所示，散热片的横截面为矩形，它的一边处于较高温度，其他边,和则处于冷却介质中因而保持较低的温度。试求解这横截面上的稳定温度分布。byU0y0xax0u),(yxuxyOaUbu0u0解：本问题是二维无源稳定温度分布，其定解问题可表为0yyxxuubyax0,0000,uuuuaxx