扬州大学《线性代数》11行列式定义

2020/5/29第一章行列式1上课绪论线性代数是是中学代数的继续和发展。一、课程内容“线性”即一次，一次函数、方程、不等式均称为线性的。本课程一重要内容——解含n个未知数、m个方程的任一线性方程组。课程给出了一套有关线性方程组的理论，其中用到一些新知识，如矩阵(Ch2)、向量(Ch3)及相关概念。行列式(Ch1)与矩阵概念是人们从求解线性方程组的需要中建立起来的，又远远越出求解线性方程组的范围，成为重要的数学工具。矩阵在众多数学分支以及自然科学、现代经济学、2020/5/29第一章行列式3工程技术等方面也有广泛应用。教材在Ch4进一步研究矩阵的有关问题，Ch5也以矩阵为工具。二、课程应用线性问题广泛存在于自然科学、管理科学和技术科学的各个领域，某些非线性问题在一定条件下也可以线性化，在线性问题中一次不等式又可以通过引进新变量转化为等式(“线性规划”课程)——即线性方程。因此线性代数的概念和方法应用广泛，尤其计算机的应用使得复杂的线性模型得以迅速、准确求解。2020/5/29第一章行列式4三、课程特点学习方法五、参考书目1.《练习卷》2.《线性代数学习指导》代数繁且抽象。只有一步步稳打稳扎，才能学好.预习适当笔记适时复习独立作业及时小结四、作业要求:及时、独立完成;格式;上交时间.2020/5/29第一章行列式5第一章行列式2020/5/29第一章行列式6来源:解线性方程组11112212112222(1)(2)axaxbaxaxb考虑用消元法解为了求x1,需先消去x2,于是2212(1)(2)aa得112212211122212()aaaaxbaba当时,112212210aaaa122212111221221babaxaaaa1.1行列式的定义一.二、三阶行列式1.二阶行列式2020/5/29第一章行列式7类似有:211121211221221babaxaaaa这就是两个未知量两个方程的线性方程组在条件021122211aaaa下的公式解.公式解的缺点:不便于记忆改进方法:引入新记号定义一:令abcdadbc并把此式叫做一个二阶行列式.(结果是个数)等式左端是记号,右端是行列式的算法.记1112112212212122aaaaaaaa(两行两列四元素组成)(两项的代数和)122212111221221babaxaaaa2020/5/29第一章行列式8公式解的便于记忆形式11DxD1112122211122122ababDxaaDaa记法:(2)x1、x2分子不同,其行列式分别是把系数行列式中x1、x2的系数列换成常数项列(保持原有的上下相对位置)所得行列式.112222baba11122122aaaa211121211221221babaxaaaa122212111221221babaxaaaa(1)x1,x2分母的行列式由方程中未知数系数按其原有的相对位置排成——“系数行列式”2020/5/29第一章行列式9定义二:令111213212223313233aaaaaaaaa112233122331132132132231122133112332aaaaaaaaaaaaaaaaaa并把此式叫做一个三阶行列式.等式左端是记号,右端是行列式的展式.aij:第i行第j列的元素它可以由一个很简单的规则来说明——即三阶行列式的对角线规则.(三行三列九元素组成)(六项的代数和)2.三阶行列式2020/5/29第一章行列式10可以验证，三元线性方程组的解当D≠0时可以表示为:312123,,DDDxxxDDD111122133121122223323113223333(3)(4)(5)axaxaxbaxaxaxbaxaxaxb2020/5/29第一章行列式11其中:111213212223313233aaaaaaaaa112132222333233baabaabaa111132122331333abaabaaba111212122231323aabaabaab例1解方程组123123123302221xxxxxxxxxD＝D1＝D2＝D3＝2020/5/29第一章行列式12解311212111011212111301222111310212111所以:12319,6,22xxx123123123302221xxxxxxxxxD＝D1=D2=D3=3×(-1)×(-1)=＋1×2×1＋(-1)×2×1－(-1)×(-1)×1－1×2×(-1)－3×2×1＝－2=2－2－1＋2=1=－12=－92020/5/29第一章行列式13小结:引入二(三)阶行列式使二(三)元线性方程组的公式解具有同样的规律.人们自然想把这一规律推广到n(n3)个未知量的线性方程组的解法上.显然,能否推广关键在于怎样恰当地定义——二.n阶行列式1.二、三阶行列式的推广四阶行列式：42个元素组成n阶行列式：111212122212nnnnnnaaaaaaaaan2个元素组成——n阶行列式的形式n阶行列式的实质?表示代数和——每项组成?共多少项?各项符号?观察三阶行列式展开式的特点思考上述问题：111213212223313233aaaaaaaaa112233122331132132132231122133112332aaaaaaaaaaaaaaaaaa(1)每项组成:(2)多少项:四阶行列式共4!＝24项，对角线仅8条，(3)各项符号:四阶以上是否适用？取自不同行不同列的三元之积.由排列组合知识，共3!＝6项.有多少不同行、不同列的三元之积?对角线法则.对角线法则对四阶以上行列式不适用。为确定行列式展式中各项符号,先介绍排列理论(1)排列:自然数1,2,…,n组成的一个有序数组i1i2…in称为一个n级(元)排列.例123、231、312、…自然排列:(2)逆序:大数码排在小数码前面,称两者构成一个逆序.排列中的逆序总数称作逆序数,记2.排列的逆序数51243、41352、…五级排列.不是排列.1242三级排列,共3!＝6种；一般排列：不按自然数顺序排列.()(3241)例2(12345)2+1+1=4;(1)2nn=0;=5;(51243)((1)(2)21)nnn按自然数顺序排列(左数码右数码)=n-1+n-2+…+2+1=(3)奇排列：逆序数为奇数的排列偶排列：逆序数为偶数的排列上例③逆序数为0,是偶排列.n=4k或4k＋1,偶排列;n=4k＋2或4k＋3,奇排列.(4)排列的对换:1212stntsniiiiiiiiii排列经对换后逆序数改变.奇偶性是否改变?定理1对换改变排列的奇偶性。证①对换相邻数码：，AijB②一般对换：，对换(i,j)可看成:12sAikkkjB12sAkkkjiB12sAjkkkiBi经s+1次相邻对换得j再经s次相邻对换得奇偶性共改变2s+1次。(1)2nn逆序数增加或减少1④对换(is,it)定理2全体n(n1)级排列的集合中，奇、偶排列各占一半。证:设n!个排列中奇、偶排列分别有p、q个.将p个奇排列经同一对换如(1，2)可得p个偶排列,故p≤q；同理可得q≤p.所以p＝q推论奇(偶)排列可经奇(偶)数次对换变成自然排列利用排列的逆序数可确定行列式中各项的符号.先看三阶行列式中各项符号有何规律.111213212223313233aaaaaaaaa112233122331132132132231122133112332aaaaaaaaaaaaaaaaaa各项正负号与列标排列:正号:123,231,312负号:321,213,132(偶排列)(奇排列)定义：用符号111212122212nnnnnnaaaaaaaaa表示的n阶行列式指的是——n!项的代数和;这些项是一切可能的取自表(1)的不同行与不同列的n个元素的乘积；1212njjnjaaa项的符号为1212njjnjaaa111212122212(1)nnnnnnaaaaaaaaa123123123111213()212223123313233(1)jjjjjjjjjaaaDaaaaaaaaa故3.n阶行列式12()(1).njjj记作：determinant简记作易证：1212121112121222()1212(1)nnnnnjjjijjjnjnjjjnnnnaaaaaaaaaaaaadet()ija121211221112121222()()12(1)nnnnnniiijjjijijijnnnnaaaaaaaaaaaa121212()12(1)nnniiiiiiniiiaaa(也可)特别:n=1,一阶行列式(与绝对值的区别!)|a|＝a2011121222000nnnnaaaaaa上三角形行列式下三角形行列式对角形行列式11111112122121211111000000000000nnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa例34.特殊行列式(1)2(1)nn11212212000nnnnaaaaaa1122000000nnaaa＝a11a22…ann＝＝＝a1na2n-1…an12020/5/29第一章行列式21例4.用行列式定义计算：00010002002004000000002005(2004,2003,,2,1,2005)(1)200420032＝2005!＝(－1)2005!＝2005!例5.设123412341234abcdxxxxDyyyyzzzz问dx3y2z1、by3x1z4、ax1y3z2是否D中项？符号?25112345()0126387xxxxfxx,求f(x)的最高次项.2536xxx例6.dx3y2z1列4321,＋.by3x1z4行1234,列2314.－.行1324,ax1y3z2列1132,不是D中项.行1234,(1243)(1)＝－90x4(或:行1234,列2134)2020/5/29第一章行列式23解:根据定义,D是一个4!＝24项的代数和.这24项中除了acfh,adeh,bdeg,bcfg四项外,其余项都至少含一个因子0,因而等于零.acfh对应列排列是1234adeh对应列排列是1324bdeg对应列排列是4321bcfg对应列排列是4231例7.计算四阶行列式00000000abcdDefgh∴D＝acfh－adeh＋bdeg－bcfg作业——P30：1、3、4(1)复习——1.1预习——1.22020/5/29第一章行列式25下课