山大-数学物理方法PPT(齐次方程的分离变量法)

1这里弦是有限长的，即有两个端点，波在端点时间来回反射同频率的反向波形成驻波在驻波中，有的点振幅最大，叫做波腹，还有些最小，叫做波节驻波没有波形传播，即各振动项位点不依次滞后，他们按统一方)()(),(tTxXtxu此时，驻波的一般表达式具有分离变数的形式！把上式代入振动方程和边界条件可得：02TXaTX0)()(0)()0(tTlXtTX0)(0)0(lXX（与t无关）02xxttuau0|0|0lxxuu式随时间t振动，可以表示成T（t）但各点振幅随地点而异，即是x的函数X（x），则驻波的一般表达式为：2对于方程02TXaTX同除XTa2则可得XXTaT2左边是时间t的函数，与坐标x无关，右边是坐标x的函数，与－XXTaT2就把原方程分为两个常微分方程，即：0)(,0)0(0lXXXX02TaT我们先来求解X，根据0,0,0的不同来考察（1）0时间t无关，显然不等，除非等于常数，记常数为30)(,0)0(0lXXXX方程的解是xxeCeCxX21)(积分常数由初始条件确定：002121lleCeCCC由此可得021CC即0)(xX驻波0)()(),(tTxXtxu没有意义，故排除！（2）0此时方程的解是：CxCxX1)(积分常数由初始条件确定：00212ClCC由此可得021CC即0)(xX没有意义，故排除！4（2）00)(,0)0(0lXXXX此时方程解为：xCxCxXsincos)(21积分常数由初始条件来确定0sin021lCC此时如果0sinl仍然可得021CC从而0)(xX应该予以排除！只剩下一种可能：01C0sinl则)(Znnl即：.......3,2,1222nln＝而此时xlxnCxXsin)(2C2为任意常数注：上式正是傅里叶正弦级数的基本函数族！5由以上过程可知道，分离变数过程中所引入的常数不能为负数或者零，也不是任意的正数，必须取特定的数值，才能使原方程有有意义的解。常数的这种特殊数值叫做本征值，0)(,0)0(0lXXXX而此时T的方程应该写成：02222TlnaT02TaT此方程的解为：latnBlatnAtTsincos)(其中，A，B为积分常数把X（x）和T（t）代入原方程就可得分离变数形式的解：...)3,2,1(sin)sincos(),(nlxnlatnBlatnAtxun相应的解叫做本征函数，即构成本征值问题。6...)3,2,1(sin)sincos(),(nlxnlatnBlatnAtxun这就是两端固定弦上的可能的驻波，每个自然数n对应一个在)...2,1,0(/nknklx共计n＋1个点上，0sin)/sin(klxn则U（x,t）=0,这些点是驻波的节点相邻节点间隔l/n为半波长，故波长应为：2l/n本征振动的角频率为lan/则频率为:lnaf2/2/当n=1的驻波,除了两端x=0和x=l之外没有其他的节点,波长2l在N1的各个驻波叫做n次谐波,波长2l/n是基波的1/n,频率na/2l驻波，这些驻波也叫做两端固定弦的本征振动。所有本征振动里边是最长的,频率最低,这个驻波叫做基波.是基波的n倍.7以上的本征振动是满足弦振动方程02xxttuau和边界条件0|0|0lxxuu的线性独立的特解,由于方程和边界条件都是齐次的,故所有的本征振动的线性叠加:1sin)sincos(),(nnnlxnlatnBlatnAtxu仍然满足原方程和边界条件,此即满足方程的一般解,其中A,B为任意常数但此时未考虑初始条件!以下就是考虑到初始条件求定解问题的确定解,就是选取适当的)(|)(|00xuxuttt把上述一般解代入初始条件,可得:叠加系数An和Bn,满足初始条件:811)(sin)(sinnnnnxlxnlanBxlxnA)0(lx左边是傅里叶正弦级数,我们只要把函数(x)(x),展开成傅里叶正弦级数,比较系数就可以得到An和Bn:lnnlnndlnananlBdlnlA00sin)(2sin)(2傅里叶系数傅里叶系数这样,我们就得到了原定解问题的解:1sin)sincos(),(nnnlxnlatnBlatnAtxu系数由以上的傅里叶级系数确定,展开成傅里叶正弦级数是由第一类边界条件确定的!9偏微分方程分离变数常微分方程2解2本征解解2×解1齐次边界条件分离变数常微分方程1条件解1（本征函数）所求解＝本征值问题本征值本征解初始条件关键在于分离变数，使偏微分问题化为常微分问题，同时把边界分离变数法条件化为常微分方程的附加条件，构成本征值问题。可以推广到线性齐次方程和线性齐次边界条件的多种定解问题中！1020,0,0,(0,)(,)0()txxtuauxltutultux求解:11（二）例题例1：磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等核心是两端自由的)0()(|)(|0|0|00002lxxuxuuuuautttlxxxxxxtt（边界条件）（初始条件）（泛定方程）解分离变量：)()(),(tTxXtxu代入泛定方程和边界条件0)()(,0)()0(02tTlXtTXTXaTX即：0)(,0)0(lXX均匀杆，作纵振动，定解问题如下：1202TXaTX对于方程化为：XXTaT2两边分别是x和t的函数，不可能相等，除非是一常数，设为XXTaT2则于是可分解为关于X和T的常微分方程0)(,0)0(0lXXXX＋02TaT（1）（2）对于本征值问题（1）如果0则X（x）恒为零，无意义。如果0则方程的解是：xDCxX00)(代入常微条件得：D0＝0则0)(CxX130)(CxX为对应于本征值0的本征函数如果0方程0XX＋的解是：xCxCxXsincos)(21积分常数满足：0)cossin(0212lClCC0故C2＝00sin1lC若C1＝0，则无意义！则0sin,01lC可得：...)3,2,1(nnl即...)3,2,1(/222nln相应的本征函数为：...)3,2,1)(/cos()(1nlxnCxX以下把00的情况合二为一。14...)3,2,1(,222nln...)3,2,1(,cos)(1nxlnCxXC1为任意常数，上式是傅里叶余弦级数的基本函数族。0将本征值代入T的方程02TaT可以得到：)0(,0,02222nTlanTT解分别为：tBAtT000)(...)3,2,1(,sincos)(ntlanBlanAtTnnn其中系数均为独立的任意常数。把X（x），T（t）分别代回)()(),(tTxXtxu得到本征振动如下：15tBAtu000)(...)3,2,1(,cos)sincos(),(nxlantlanBlanAtxunnn注意，上式是傅里叶余弦级数的基本函数族。所有本征振动叠加即得一般解：100cos)sincos(),(nnnxlantlanBtlanAtBAtxu＋其中系数由初始条件)0()(|)(|00lxxuxuttt确定。把一般解代入初始条件，可以得到：)0()(cos)(cos1010lxxxlnBlanBxxlnAAnnnn16把左边的函数)(),(xx展开成傅里叶余弦级数，比较系数lldlBdlA0000)(1)(1llndlnanBdlnlA000cos)(2cos)(2由上可知，A0和B0分别表示平均初始位移和平均初始速度，由于例2：研究细杆导热问题，初始时刻杆的一端问题为零，另一端一端为第一类边界条件，另一端为第二类边界条件类齐次边界条件所决定的。不受外力作用，以不变的速度B0移动，傅里叶余弦级数是由第二另一端跟外界绝热，试求杆上温度的变化。温度为U0，杆上温度梯度均匀，零度的一端保持温度不变，17可得杆上温度U（x，t）满足的泛定方程和定解条件：)0,/|0|0|)/(,000022lxlxuuuuckauautlxxxxxt（这里泛定方程和边界条件都是齐次的，利用分离变数法，得：)()(),(tTxXtxu代入泛定方程和边界条件可得关于X（x）和常微分方程及条件及关于T的常微分方程：00)(,0)0(02TaTlXXXXX（x）的方程和条件构成本征值问题，只能得到00)(,0xX无意义18则当0时得到常微方程的通解为：xCxCxXsincos)(21代入常微分方程的初始条件，可得：0cos021lCC除非是0cosl否则还是得到无意义的解0)(xX则此时可得：0coslC2＝0即：...)2,1,0(,)21(kkl...2,1,0,4)12()21(222222klklk这里给出本征值，相应的本征函数为：19...)2,1,0(2)12(sin)(2kxlkCxX而关于T的方程02TaT此时变为：0212222TlkaT）（此方程的解为：2222)21()(ltakCetTU（x,t）的一般解是：0)21()21(sin),(2222kltakklxkeCtxu其中Ck由初始条件确定：)0,/|00lxlxuut（)0(,)21(sin00lxxlulxkCkk20左边是以lxk)21(sin为基本函数族的级数，启发我们把右边也展开成以lxk)21(sin为基本函数族的级数（傅里叶正弦级数）比较系数可得：dlklulClk)21(sin200llklklkku0220)21(cos)21()21(sin)21(2220)21(2)1(kluk21此时可得最后结果为：lxkeklutxutlakkk)21(sin)21()1(2),(2222)21(0220注对于本征函数即lxk)21(sin既不同于第一类齐次边界条件lxnsin又不同于第二类齐次边界条件的lxncos边界条件0|lxxu表明应该把导热细杆从区间〔0，l〕偶延拓到〔l，2l〕延拓后条件为：0|,0|,0|20lxxlxxxuuu一，三决定了本征函数为lxn2sinn是正整数第二个条件则限定n只能是奇数，2cos22sinnlnlxnlx边界条件22若n为偶数，则2cosn不为零，综上所述可得本征函数为：lxk2)12(sinlxk)21(sin即注对于一般解，如果考虑早先的时刻即t0,则tlake2222)21(随k的增大而增大，一般解级数发散此时无意义。杆上的温度分布总是趋于某种平衡状态，且只要另一方面，对于当前时刻以后的时刻，t0却不能反推早先时刻的温度分布，这是输运