反函数·典型例题精析

2．4反函數·例題解析【例1】求下列函數的反函數：(1)y(x)(2)yx2x3x(0]2＝≠－．＝－＋，∈－∞，．352112xx(3)y(x0)(4)yx+1(1x0)(0x1)＝≤．＝－≤≤－＜≤112xx解(1)y(x)yy(2y3)xy5xy(x)∵＝≠－，∴≠，由＝得－＝－－，∴＝所求反函数为＝≠．35211232352153253232xxxxyyyy解(2)∵y＝(x－1)2＋2，x∈(－∞，0]其值域為y∈[2，＋∞)，由＝－＋≤，得－＝－，即＝－∴反函数为＝－，≥．y(x1)2(x0)x1x1f(x)1(x2)21yyx222解(3)y(x0)0y1yxf(x)(0x1)1∵＝≤，它的值域为＜≤，由＝得＝－，∴反函数为＝－＜≤．11111122xxyyxx解(4)y(1x0)0y1f(x)x1(0x1)y(0x1)12由＝－≤≤，得值域≤≤，反函数＝－≤≤．由＝－＜≤，xx1得值域－≤＜，反函数＝－≤＜，故所求反函数为＝－≤≤－≤＜．1y0f(x)(1x0)yx1(0x1)x(1x0)1222x【例2】求出下列函數的反函數，並畫出原函數和其反函數的圖像．(1)y1(2)y3x2(x0)2＝－＝－－≤x1解(1)∵已知函數的定義域是x≥1，∴值域為y≥－1，由＝－，得反函数＝＋＋≥－．函数＝－与它的反函数＝＋＋的图像如图．－所示．y1y(x1)1(x1)y1y(x1)124122xx11解(2)由y＝－3x2－2(x≤0)得值域y≤－2，反函数＝－≤－．f(x)(x2)1x23它們的圖像如圖2．4－2所示．【例3】已知函数＝≠－，≠．f(x)(xaa)3113xxa(1)求它的反函數；(2)求使f-1(x)＝f(x)的實數a的值．解(1)yxay(xa)3x1(y3)x1ayy3设＝，∴≠－，∵＋＝＋，－＝－，这里≠，31xxa若＝，则＝这与已知≠矛盾，∴＝，，即反函数＝．y3aaxf(x)113131313ayyaxx(2)f(x)f(x)x1若＝，即＝对定义域内一切的值恒成立，3113xxaaxx令x＝0，∴a＝－3．或解由f(x)＝f-1(x)，那麼函數f(x)與f-1(x)的定義域和值域相同，定義域是{x|x≠a，x∈R}，值域y∈{y|y≠3，y∈R}，∴－a＝3即a＝－3．【例4】已知函数＝＝中，、、、均不为零，yf(x)abcdaxbcxd試求a、b、c、d滿足什麼條件時，它的反函數仍是自身．解f(x)bcad0f(x)x1＝＋，∵常数函数没有反函数，∴－≠．又＝，要使＝，对定义域内一切值恒成立，acbcadccxddxbcxadxbcxaaxbcxd()令x＝0，得－a＝d，即a＋d＝0．事實上，當a＋d＝0時，必有f-1(x)＝f(x)，因此所求的條件是bc－ad≠0，且a＋d＝0．【例5】設點M(1，2)既在函數f(x)＝ax2＋b(x≥0)的圖像上，又在它的反函數圖像上，(1)求f-1(x)，(2)證明f-1(x)在其定義域內是減函數．解证(1)2ab14ababf(x)x(x0)(2)yx(x0)f(x)(x)221由＝＋＝＋得＝－＝，∴＝－＋≥由＝－＋≥得反函数＝≤．1373137313737373x设＜≤，∴－＞－≥，∴＞，即＞，故在－∞，上是减函数．xx73x73x0f(x)f(x)f(x)(]121211121737337312xxx【例6】解法一若函数＝，求的值．先求函数＝的反函数＝，于是＝＝－－．f(x)f(2)()f(x)f(x)f(2)532xxxxxx121212112212111解法(二)由函數y＝f(x)與其反函數y＝f-1(x)之間的一一對應關系，求的值，就是求＝时对应的的值，∴令＝，得＝－－，即＝－－．f(2)f(x)2x2x532f(2)53211xx12【例7】已知∈，且≠，≠．设函数＝∈且≠，证明＝的图像关于直线＝对称．aa0a1f(x)(xx)yf(x)yxRRxaxa111证ya0a1(ay1)xy1ay10ya1a1由＝，≠，≠，得－＝－，如果－＝，则＝，∴＝得＝，这与已知≠矛盾，xaxaaxax111111∴－≠，故＝，∴＝，即证得＝的反函数就是它本身．ay10xf(x)f(x)1yayxaxxax111111因為原函數的圖像與其反函數的圖像關於直線y＝x對稱，∴函數y＝f(x)的圖像關於直線y＝x對稱．