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反函数一、选择题1.如果点(1;2)同时位于函数f(x)=pax+b+1及其反函数的图象上，则a，b的值分别为()A.a= 3，b=6B.a= 3，b= 6C.a=3，b= 6D.a=3，b=62.若函数y=f(x)的反函数是y=g(x)，f(a)=b，ab̸=0，则g(b)等于()A.aB.a 1C.bD.b 13.要使函数y=x2 2ax+1在[1;2]上存在反函数，则a的取值范围是()A.a⩽1B.a⩾2C.a⩽1或a⩾2D.1⩽a⩽24.已知函数f(x)=lnx m(x+n)x+1(m0;n2R)在(0;+1)上不单调，若m n恒成立，则实数的取值范围为()A.[3;+1)B.[4;+1)C.( 1;3)D.( 1;4]二、填空题5.设f 1(x)为f(x)=x2x+1的反函数，则f 1(2)=．6.记函数y=f(x)的反函数为y=f 1(x):如果函数y=f(x)的图像过点(1;0)，那么函数y=f 1(x)+1的图像过点．7.已知函数y=f(x)有反函数，则方程f(x)=0根的情况是．(填序号)¬有且仅有一个根；至多有一个根；®至少有一个根；¯以上结论都不对．8.已知函数y=f(x+1)与函数y=3px 1(x2R)的图象关于直线y=x对称，则f(2)的值为．三、解答题9.设函数f(x)=a2x 11+2x(a2R)是R上的奇函数．(1)求a的值．(2)求f(x)的反函数f 1(x)．10.设函数y=f(x)的反函数是y=g(x)．如果f(ab)=f(a)+f(b)，那么g(a+b)=g(a)g(b)是否正确，试说明理由．11.求函数y=2x+12x 1的反函数．12.已知函数y=f 1(x)是y=f(x)的反函数．定义：若对给定的实数a(a̸=0)，函数y=f(x+a)与y=f 1(x+a)互为反函数，则称y=f(x)满足”a和性质”；若函数y=f(ax)与y=f 1(ax)互为反函数，则称y=f(x)满足”a积性质”．(1)判断函数g(x)=x2+1(x0)是否满足”1和性质”，并说明理由；(2)求所有满足”2和性质”的一次函数；(3)设函数y=f(x)(x0)对任何a0，满足”a积性质”．求y=f(x)的表达式．第1页，共1页反函数—答案一、选择题1234AACC1.因为反函数经过点(1;2)，则原函数经过点(2;1)．把点(1;2)、(2;1)代入原函数解析式，解得a= 3，b=6．2.提示：因为原函数和反函数的图象关于直线y=x对称，且点(a;b)在原函数的图象上，所以点(b;a)在反函数的图象上，所以g(b)=a．3.提示：要使函数y=x2 2ax+1在[1;2]上存在反函数，只要函数在[1;2]上单调即可．4.f′(x)=1x m(x+1) m(x+n)(x+1)2=x2+(mn m+2)x+1x(x+1)2:因为函数f(x)=lnx m(x+n)x+1(m0;n2R)在(0;+1)上不单调，所以函数f(x)在(0;+1)上存在极值点．所以x2+(mn m+2)x+1=0有不相等的正的实数根．所以m mn 20，∆=(m 2 mn)2 40，由∆0化为：(m mn 4)(1 n)0，所以§n mn 40;1 n0或§n mn 40;1 n0;由§n mn 40;1 n0;可得：m41 n21 n，所以m n41 n n=g(n)，g′(n)=(3 n)(1+n)(1 n)2，可得：n= 1时，函数g(n)取得极小值即最小值，g( 1)=3．所以3．由§n mn 40;1 n0:可得：m41 n，而41 n21 n，舍去．综上可得：3．二、填空题5. 236.(0;2)7.解析：可以有一个实数根，例如y=x 1，也可以没有实数根，例如y=2x．8.8解析：由y=3px 1得x=(y+1)3，所以函数y=3px 1的反函数是y=(x+1)3，即f(x+1)=(x+1)3;f(1+1)=(1+1)3=8，即f(2)=8．三、解答题9.(1)∵f(x)是R上的奇函数，)f(0)=0即0=a20 11+20;)a=1．经验证，此时函数为奇函数．(2)由（1）得：f(x)=2x 12x+1，即y=2x 12x+1，)y(2x+1)=2x 1，)2x=1+y1 y，)f 1(x)=log21+x1 x;x2( 1;1)．10.解：设f(a)=m;f(b)=n;由于g(x)是f(x)的反函数，)g(m)=a;g(n)=b;从而m+n=f(a)+f(b)=f(ab)=f[g(m)g(n)])g(m)g(n)=g(m+n);以a、b分别代替上式中的m、n．即得g(a+b)=g(a)g(b)．11.由y=2x+12x 1得2x(y 1)=y+1．∵y̸=1，)2x=y+1y 1:¬∵2x0，)y+1y 10，解得y1或y 1．故反函数的定义域是{xjx1或x 1}．由¬式，得x=log2y+1y 1．)反函数为y=log2x+1x 1（x 1或x1）．12.(1)函数g(x)=x2+1(x0)的反函数是g 1(x)=px 1(x1);所以g 1(x+1)=px(x0);而g(x+1)=(x+1)2+1(x 1)，其反函数为y=px 1 1(x1);故函数g(x)=x2+1(x0)不满足”1和性质”．(2)设函数f(x)=kx+b(x2R)满足”2和性质”k̸=0．所以f 1(x)=x bk(x2R);所以f 1(x+2)=x+2 bk:而f(x+2)=k(x+2)+b(x2R)得反函数y=x b 2kk:由”2和性质”定义可知x+2 bk=x b 2kk对x2R恒成立，所以k= 1;b2R;即所求一次函数为f(x)= x+b(b2R):(3)设a0，x00，且点(x0;y0)在y=f(ax)图象上，则(y0;x0)在函数y=f 1(ax)图象上，故§f(ax0)=y0;f 1(ay0)=x0;可得ay0=f(x0)=af(ax0):令ax0=x则a=xx0;所以f(x0)=xx0f(x);即f(x)=x0f(x0)x:综上所述，f(x)=kx(k̸=0);此时f(ax)=kax，其反函数就是y=kax;而f 1(ax)=kax;故y=f(ax)与y=f 1(ax)互为反函数．答案