立体几何几个经典题型(理科)(推荐)

教学设计方案XueDaPPTSLearningCenter立体几何1、如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ADCD，DB平分ADC，E为的PC中点，1,22ADCDDB（1）证明：//PA平面BDE（2）证明：AC平面PBD（3）求直线BC与平面PBD所成角的正切值2、（本题满分15分）如图，平面PAC平面ABC，ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，,,EFO分别为PA，PB，AC的中点，16AC，10PAPC．（I）设G是OC的中点，证明：//FG平面BOE；（II）证明：在ABO内存在一点M，使FM平面BOE，并求点M到OA，OB的距离．3、如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD,AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=12AD(I)求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II)求平面AMD与平面CDE所成角的大小；（III）求二面角A-CD-E的余弦值。MQBCADFEPDCABPEPBACOEFG教学设计方案XueDaPPTSLearningCenter4.如图，在正三棱柱（底面是正三角形，侧棱垂直底面）111ABCABC中，12ABAA，D是11AB的中点，点E在11AC上，且DEAE。（I）证明平面ADE平面11ACCA（II）求直线AD和平面1ABC所成角的正弦值。5在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝3，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．(1)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离；(2)求(1)中的点N到平面PAC的距离．6、如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，P是侧棱1CC上的一点，CPm。（Ⅰ）、试确定m，使直线AP与平面11BDDB所成角的正切值为32；（Ⅱ）、在线段11AC上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面1APD上的射影垂直于AP，并证明你的结论。DB1C1BACA1EAA1B1BD1C1DCPBECADP教学设计方案XueDaPPTSLearningCenter7、如图所示，等腰ABC△的底边66AB，高3CD，点E是线段BD上异于点BD，的动点，点F在BC边上，且EFAB⊥，现沿EF将BEF△折起到PEF△的位置，使PEAE⊥，记BEx，()Vx表示四棱锥PACFE的体积．（1）求()Vx的表达式；（2）当x为何值时，()Vx取得最大值？（3）当()Vx取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值．8、如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点。（Ⅰ）求证：ACSD；（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角PACD的大小；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由。ACBPEDFCDBASP教学设计方案XueDaPPTSLearningCenter答案：立体几何与空间向量解答题(理科)1、【解】证明：设HBDAC，连结EH，在ADC中，因为AD=CD，且DB平分ADC，所以H为AC的中点，又有题设，E为PC的中点，故PAEH//,又BDEPABDEHE平面平面,,所以BDEPA平面//.（2）证明：因为ABCDPD平面，ABCDAC平面，所以ACPD由（1）知，ACBD,,DBDPD故PBDAC平面(3)解：由PBDAC平面可知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以CBH为直线与平面PBD所成的角。由CDAD,223,22,22,1BHCHDHDBCDAD可得在BHCRt中，31tanBHCHCBH,所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为31。2、证明：（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，.则0,0,0,(0,8,0),(8,0,0),(0,8,0),OABC(0,0,6),(0,4,3),PE4,0,3F，由题意得，0,4,0,G因(8,0,0),(0,4,3)OBOE，因此平面BOE的法向量为(0,3,4)n，(4,4,3FG得0nFG，又直线FG不在平面BOE内，因此有//FG平面BOE（II）设点M的坐标为00,,0xy，则00(4,,3)FMxy，因为FM平面BOE，所以有//FMn，因此有0094,4xy，即点M的坐标为94,,04，在平面直角坐标系xoyHDCABPEGFEOCABPzyx教学设计方案XueDaPPTSLearningCenter中，AOB的内部区域满足不等式组008xyxy，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在ABO内存在一点M，使FM平面BOE，由点M的坐标得点M到OA，OB的距离为94,4．3、分析：本小题要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力。【解】方法一：（Ⅰ）解：由题设知，BF//CE，所以∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角。设P为AD的中点，连结EP，PC。因为FE//AP，所以FA//EP，同理AB//PC。又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD。而PC，AD都在平面ABCD内,故EP⊥PC，EP⊥AD。由AB⊥AD，可得PC⊥AD设FA=a，则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=a2，故∠CED=60。所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°。（II）因为.CEMPMP.CEDMCEM，则连结的中点，所以为且DEDC.CDEAMDCDECE.AMDCEMDMMP平面，所以平面平面而平面，故又故平面AMD与平面CDE所成角的大小为2.（III）因为，所以因为，的中点，连结为解：设.CDEQDECE.EQPQCDQ.ECDAEQPCDPQPDPC的平面角为二面角，故，所以由（I）可得，.2226EQaPQaPQEP，，，中，于是在33cosEPQRtEQPQEQP方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点。设，1AB依题意得，，，001B，，，011C，，，020D，，，110E，，，100F.21121M，，（I），，，解：101BF，，，110DE教学设计方案XueDaPPTSLearningCenter.2122100DEBFDEBFDEcos，于是BF所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60.（II）证明：，，，由21121AM，，，101CE0AMCE020AD，可得，，，.AMDCEAADAM.ADCEAMCE.0ADCE平面，故又，因此，.CDEAMDCDECE平面，所以平面平面而（III）.0D0)(CDEEuCEuzyxu，，则，，的法向量为解：设平面.111(1.00），，，可得令，于是uxzyzx又由题设，平面ACD的一个法向量为).100(，，v.3313100cosvuvuvu，所以，【点评】纯几何方法求角：求角的思路一般是将空间角的计算问题转化为平面角的计算问题，求异面直线所成的角时，需要选点平移，一般是设法在其中一条直线上选出一个恰当的点来平移另一条直线，然后计算其中的锐角或直角；线面角的计算关键是找出直线在平面上的射影，通常需要由直线上的某一点向平面作垂线，求出的应当是一个锐角或直角；面面角的计算通常找到平面角或面积射影定理来完成，找平面角的方法有定义法、三垂线定理法(利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。)、垂面法，计算出来的角是可以是锐角、直角或钝角.向量法求角给解题带来了极大的方便，其规律见后面的【温馨提示】。4、【解】（I）如图所示，由正三棱柱111ABCABC的性质知1AA平面111ABC，又DE平面A1B1C1，所以DEAA1.而DEAE。AA1AE=A所以DE平面ACC1A1，又DE平面ADE，故平面ADE平面ACC1A1。教学设计方案XueDaPPTSLearningCenter（2）解法2如图所示，设O使AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设AA1=2，则AB=2，相关各点的坐标分别是A(0,-1,0)，B（3，0，0），C1（0，1，2），D（23，-21，2）。易知AB=(3，1，0)，1AC=(0，2，2)，AD=(23，-21，2）设平面ABC1的法向量为(,,)nxyz,则有30220nABxynACyz,解得x=-33y，z=-y2，故可取n=(1，-3，6)。所以，cos,nAD=ADnADn··=31032=510。由此即知，直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为510。【点评】本题主要考查面与面之间的关系和线面关系，同时考查空间想象能力和推理运算能力。本题着眼于让学生掌握通性通法几何法在书写上体现：“作出来、证出来、指出来、算出来、答出来”五步斜线和平面所成的角是一个直角三角形所成的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面内的射影。因此求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足、再作垂线找射影、通过解直角三角形求解；向量法则利用斜线和射影的夹角或考虑法向量，用公式计算sin=MnPMnPM(直线l，P面，是l与平面所成的角，n是平面的法向量，有22-或=-）FDB1C1BACA1EH教学设计方案XueDaPPTSLearningCenter6、【解】(1)建立空间直角坐标系A－BDP，则A、B、C、D、P、E的坐标分别是A(0,0,0)、B(3,0,0)、C(3,1,0)、D(0,1,0)、P(0,0,2)、E(0,21,1)，依题设N(x,0,z)，则NE＝(－x,21,1－z)，由于NE⊥平面PAC，∴00ACNEAPNE即0213010)0,1,3()1,21,(0)2,0,0()1,21,(xzzxzx163zx，即点N的坐标为(63,0,1)，从而N到AB、AP的距离分别为1，63.(2)设N到平面PAC的距离为d，NE是平面PAC的法向量，则d＝||||NENENA＝1233121|)0,21,63(||)0,21,63()1,0,63(|.〖例9〗如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，P是侧棱1CC上的一点，CPm。（Ⅰ）、试确定m，使直线AP与平面11BDDB所成角的正切值为32；（Ⅱ）、在线段11AC上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面1APD上的射影垂直于AP，并证明你的结论。【分析】本小题主要考查线面关系、直线于平面所成的角的有关知识及空间想象能力和推理运算能力，考查运用向量知识解决数学问题的能力。xyzEBCADPAA1B1BD1C1DCP教学设计方案XueDaPPTSLearningCenter9、【解】法1：（Ⅰ）连AC，设AC与BD相交于点O,AP与平面11BDDB相交于点，,连结OG，因为PC∥平面11BDDB，平面11BDDB∩平面APC＝OG,故OG∥PC，所以，OG＝21PC＝2m.又AO⊥BD,AO⊥BB1，所以AO⊥平面11BDDB，故∠AGO是AP与平面11BDDB所成的角.在Rt△AOG中，tanAGO＝23222mGOOA，即m＝31.所以，当m＝31时，直线AP与平面11BDDB所成的角的正切值为32.