第九章-数项级数

《数学分析（1，2，3）》教案9-1第九章数项级数§1预备知识：上极限和下极限对于一个有界数列na，去掉他的最初k项以后，剩下来的依旧是一个有界数列，记1212sup,,,inf,,.kkkkkkaaaa显然，数列k是单调减少的，k是单调增加的，所以这两个数列的极限存在。称k的极限是na的上极限，设它为H。称k的极限是na的下极限，设它为h。记为lim,lim.nnnnHaHa显然：hH。定理1设limnnHa则（i）当H为有限时，对于H的任何邻域,HH，在数列na中有无穷多个项属于这个邻域，而在,H只有有限多个项。（ii）当H时，对任何数0N，在na中波有无穷多项大于N。（iii）当H时，数列na以为极限。定理2设limnnha则（i）当h为有限时，对于H的任何邻域,hh，在数列na中有无穷多个项属于这个邻域，而在,h只有有限多个项。（ii）当h时，对任何数0N，在na中波有无穷多项小于N。（iii）当h时，数列na以为极限。定理3设H为na的上极限，那么，H必是na中所有收敛子列的极限中的最大值。设h为na的下极限，那么，h必是na中所有收敛子列的极限中的最小值。《数学分析（1，2，3）》教案9-2推论1limnnaA的充分必要条件为limlimnnnnaaA。例：设1nnan，求它的上下极限。例：设cos4nna，求它的上下极限。§2级数的收敛性及其基本性质一级数概念在初等数学中，我们知道：任意有限个实数nuuu,,,21相加，其结果仍是一个实数，在本章将讨论——无限多个实数相加——级数——所可能出现的情形及特征。如n2121212132从直观上可知，其和为1。又如，)1(1)1(1。其和无意义；若将其改写为：)11()11()11(则其和为：0；若写为：]1)1[(]1)1[(1则和为：1。（其结果完全不同）。问题：无限多个实数相加是否存在和；如果存在，和等于什么。定义1给定一个数列nu，将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式nuuuu321（1）称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中nu称为级数（1）的通项。级数记为：1nnu。二级数的收敛性记nnkknuuuuS211，称之为级数1nnu的前n项部分和，简称部分和。定义2若数项级数1nnu的部分和数列nS收敛于S（即SSnnlim），则称数项级数1nnu收敛，记作S1nnu=nuuuu321。《数学分析（1，2，3）》教案9-3若部分和数列nS发散，则称数项级数1nnu发散。当级数收敛时，又称1nnkknrSSu为级数的余和。注：无穷级数的收敛问题，实质上是部分和数列的收敛问题。例:试讨论等比级数（几何级数）1121nnnaqaqaqaaq，)0(a的收敛性。例:讨论级数)1(1431321211nn的收敛性。三收敛级数的性质性质1若级数1nnu都有收敛，则对任意常数a，级数1nnau也收敛，且1nnau1nnau。性质2若级数1nnu与1nnv都有收敛，则级数1()nnnuv也收敛，且1()nnnuv11nnnnuv。即对于收敛级数来说，交换律和结合律成立。性质3在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。注意：从级数加括号后的收敛，不能推断加括号前的级数也收敛（即去括号法则不成立）。如：)11()11()11(000收敛，而级数1111是发散的。性质4（收敛的必要条件）若级数1nnu收敛，则0nun。注：0nun只是级数1nnu收敛的必要条件，不是充分条件。《数学分析（1，2，3）》教案9-4例：级数11nn发散，但10n。敛散性是由它的部分和数列nS来确定的，因而也可以认为数项级数1nnu是数列nS的另一表现形式。反之，对于任意的数列na，总可视其为数项级数1nnu)()()(123121nnaaaaaaa的部分和数列，此时数列na与级数)()()(123121nnaaaaaaa有相同的敛散性，因此，有定理1（Cauchy收敛原理）级数1nnu收敛的充要条件是：任给正数，总存在正整数N，使得当nN以及对任意的正整数p，都有12nnnpuuu。注：级数1nnu发散的充要条件是：存在某个00，对任何正整数N，总存在正整数00),(pNm，有0210000pmmmuuu。例：利用收敛原理来判断级数211nn的收敛性。例：利用收敛原理来判断调和级数11nn的收敛性。§3正项级数一正项级数收敛性的一般判别原则若级数各项的符号都相同，则称为同号级数。而对于同号级数，只须研究各项都由非负项数组成的级数——正项级数。因负项级数同正项级数仅相差一个负号，而这并不影响其收敛性。基本定理正项级数1nnu收敛部分和数列nS有上界。正项级数的比较判别法定理1设1nnu和1nnv均为正项级数，如果存在某个正数N，使得对Nn都有《数学分析（1，2，3）》教案9-5nnucv，那么（1）若级数1nnv收敛，则级数1nnu也收敛；（2）若级数1nnu发散，则级数1nnv也发散。例:考察2111nnn的收敛性。推论（比较判别法的极限形式）设1nnu和1nnv是两个正项级数，若lvunnnlim，则（1）当l0时，级数1nnu、1nnv同时收敛或同时发散；（2）当0l且级数1nnv收敛时，级数1nnu也收敛；（3）当l且1nnv发散时，级数1nnu也发散。例:讨论级数12nn的收敛性。例:讨论级数n1sin的收敛性。柯西判别法定理2设nu为正项级数，且存在某个正整数N及正常数l，（1）若对nN，有1lunn，则级数nu收敛；（2）若对nN，有1nnu，则级数nu发散。推论（柯西判别法的极限形式）设nu为正项级数，且limnnnur，则（1）当1r时，级数nu收敛；（2）当1r（可为）时，级数nu发散；《数学分析（1，2，3）》教案9-6（3）当1r时，级数nu可能收敛，也可能发散。如：n1，21n。例：讨论级数nn2)1(2的敛散性。达朗贝尔判别法定理3设nu为正项级数，且存在某个正整数N及常数)1,0(q：（1）若对nN，有quunn1，则级数1nnu收敛；（2）若对nN，有11nnuu，则级数1nnu发散。推论设nu为正项级数，且quunnn1lim，则（1）当1q时，级数nu收敛；（2）当1q（可为）时，级数nu发散；（3）当1q时，级数nu可能收敛，也可能发散。如：n1，21n。例：讨论级数1nsnan的收敛性。例：讨论级数(0)nnxx的收敛性。说明：因quunnn1limqunnnlim，这就说明凡能用达朗贝尔判别法判定收敛性的级数，也能用柯西判别法来判断，即柯西判别法较之达朗贝尔判别法更有效。但反之不能。柯西积分判别法定理4设)(xf为[),1上非负减函数，则正项级数)(nf与反常积分1)(dxxf同时收敛或同时发散。例:讨论下列级数（1）11npn，（2）21lnnnn，的敛散性。§4任意项级数《数学分析（1，2，3）》教案9-7一绝对收敛级数定义1若级数1nnu各项绝对值所组成的级数1nnu收敛，则称原级数1nnu绝对收敛。若级数1nnu收敛，但级数1nnu发散，则称级数1nnu条件收敛。定理1绝对收敛的级数一定收敛。但反之不然。注：例如11nnn.说明：对于级数是否绝对收敛，可用正项级数的各判别法进行判别。例：对任何实数，级数1!nnn是绝对收敛的。若级数nu收敛，但级数nu发散，则称级数nu条件收敛。例：11)1(11nnn是条件收敛的；)!12(1)1(11nnn和nnnn10)1(11是绝对收敛的。全体收敛的级数可分为绝对收敛级数和条件收敛级数两大类。二交错级数定义2若级数的各项符号正负相间，即11)1(nnnu，),0(nun称为交错级数。定理2（莱布尼茨判别法）若交错级数11)1(nnnu满足下述两个条件：（1）数列nu单调递减；（2）0limnnu。则级数11)1(nnnu收敛。且此时有111)1(uunnn。推论若级数11)1(nnnu满足莱布尼茨判别法的条件，则其余和估计式为111(1)knknknruu。例：判别下列级数的收敛性：（1）11(1)1nnn；（2）111(1)(21)!nnn；（3）11(1)5nnnn。三阿贝耳判别法和狄立克莱判别法《数学分析（1，2，3）》教案9-8定理3（阿贝尔判别法）若}{na为单调有界数列，且级数1nnb收敛，则级数11221nnnnnabababab收敛。例：根据阿贝尔判别法法可知，当级数1nnu收敛时，级数(1)npupn，nun收敛。定理4（狄立克莱判别法）若}{na为单调递减数列，且0limnna，又级数1nnb的部分和数列有界，则级数11221nnnnnabababab收敛。例：若数列}{na为单调递减，且0limnna，则级数nxansin，nxancos对任何)2,0(x都收敛。§5绝对收敛技术和条件收敛级数的性质定理1对于级数1nnu，令,020,0nnnnnnuuuuvu当当,020,0nnnnnnuuuuwu当当那么：（i）若级数1nnu绝对收敛，则级数1nnv和1nnw都收敛。（ii）若级数1nnu条件收敛，则级数1nnv和1nnw都发散。《数学分析（1，2，3）》教案9-9定义1对于一个级数1nnu，他的更序级数就是把它的项重新排列后所得到的级数。定理2绝对收敛级数1nnu的更序级数'1nnu仍为绝对收敛，且其和相同，1nnu='1nnu。定理3若级数1nnu条件收敛，那么，总可以适当地更换原来级数的次序而组成一个级数，使它收敛于任何预先给定的数S（包括的情形）。注：（1）由条件收敛的级数重排后所得到的级数，不一定收敛；即使收敛，也不一定收敛于原来的和数。如：设Annn8171615141312111)1(11，则2816141211)1(2111Annn，而nnn1)1(1123417151213111)1(2111Annn，它正是第1个级数的重排。级数的乘积设有收敛级数Auuuunn21，（1）Bvvvvnn21。（2）它们每一项所有可能的乘积为：11vu21vu31vu…nvu1…12vu22vu32vu…nvu2…13vu23vu33vu…nvu3