2019全国1卷高考数学文科含答案详解

2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设312izi，则zA．2B．3C．2D．12．已知集合1,2,3,4,5,6,7U，2,3,4,5A，2,3,6,7B，则UBCAA．1,6B．1,7C．6,7D．1,6,73．已知2log0.2a，0.22b，0.30.2c，则A．abcB．acbC．cabD．bca4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512（510.6182，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512。若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是A．165cmB．175cmC．185cmD．190cm5．函数2sincosxxfxxx在,的图象大致为6．某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测试，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生7．tan255A．23B．23C．23D．238．已知非零向量a，b满足2ab，且abb，则a与b的夹角为（）A．6B．3C．23D．569．右图是求112122的程序框图，图中空白框中应填入A．12AAB．12AAC．112AAD．112AA10．双曲线C：22221xyab（0,0ab）的一条渐近线的倾斜角为130，则C的离心率为A．2sin40B．2cos40C．1sin50D．1cos5011．△ABC的内角ABC，，的对边分别为abc，，，已知sinsin4sinaAbBcC，1cos4A，则bcA．6B．5C．4D．312．已知椭圆C的焦点为11,0F，21,0F，过2F的直线与C交于A，B两点，若222AFFB，1ABBF，则C的方程为A．2212xyB．22132xyC．22143xyD．22154xy二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．曲线23xyxxe在点0,0处的切线方程为________．14．记nS为等比数列na的前n项和，若11a，33=4S，则4=S________．15．函数3sin23cos2fxxx的最小值为________．16．已知90ACB，P为平面ABC外一点，2PC，P点到ACB两边AC，BC的距离均为3，那么P到平面ABC的距离为________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020（1）分别估计分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22=nadbcKabcdacbd2PKk0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818．（12分）记nS为等差数列na的前n项和，已知95Sa．（1）若34a，求na的通项公式；（2）若10a，求使得nnSa的n的取值范围。19．（12分）如图，直四棱柱1111ABCDABCD的底面是菱形，14AA，2AB，60BAD，E，M，N分别是BC，1BB，1AD的中点．（1）证明：MN∥平面1CDE；（2）求点C到平面1CDE的距离．20．（12分）已知函数2sincosfxxxxx，fx为fx的导数．（1）证明：fx在区间0,存在唯一零点；（2）若0,x时，fxax≥，求a的取值范围．21．（12分）已知点A，B关于坐标原点O对称，4AB，M过点A，B且与直线20x相切．（1）若A在直线0xy上，求M的半径；（2）是否存在定点P，使得当A运动时，MAMP为定值？并说明理由．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2221,141txttyt（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos3sin110．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若C上的点到l距离的最小值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知a，b，c为正数，且满足1abc，证明：（1）222111abcabc；（2）33324abbcca．2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分1.答案：C解析：因为3(3)(12)1712(12)(12)5iiiiziii所以z2217()()5522.答案：C解析：}7,6,5,4,3,2,1{U，5}43{2，，，A，则7}6{1，，ACU，又7}63{2，，，B，则7}{6，ACBU，故选C.3.答案：B解答：由对数函数的图像可知：2log0.20a；再有指数函数的图像可知：0.221b，0.300.21c，于是可得到：acb.4.答案：B解析：方法一：设头顶处为点A，咽喉处为点B，脖子下端处为点C，肚脐处为点D，腿根处为点E，足底处为F，tBD，215，根据题意可知BDAB,故tAB；又tBDABAD)1(，DFAD，故tDF1；所以身高tDFADh2)1(，将618.0215代入可得th24.4.根据腿长为cm105，头顶至脖子下端的长度为cm26可得ACAB，EFDF；即26t，1051t，将618.0215代入可得4240t所以08.1786.169h，故选B.方法二：由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近，故头顶至脖子下端的长度cm26可估值为头顶至咽喉的长度；根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是215（618.0215称为黄金分割比例）可计算出咽喉至肚脐的长度约为cm42；将人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度相加可得头顶至肚脐的长度为cm68，头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是215可计算出肚脐至足底的长度约为110；将头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度相加即可得到身高约为cm178，与答案cm175更为接近，故选B.5.答案：D解答：∵2sin()cosxxfxxx2sincosxxxx()fx，∴()fx为奇函数，排除A.又22sin4222()02cos22f，排除C，22sin()01cosf，排除B，故选D.6.答案：C解答：从1000名学生中抽取100名，每10人抽一个，46号学生被抽到，则抽取的号数就为106(099,)nnnN，可得出616号学生被抽到.7.答案：D解析：因为tan255tan(18075)tan75tan45tan30tan(4530)1tan45tan30化简可得tan255238.答案：B解答：||2||ba，且bba)(，0)(bba，有0||2bba，设a与b的夹角为，则有0||cos||||2bba，即0||cos||222bb，0)1cos2(||2b，0||b，21cos，3，故a与b的夹角为3，选B.9.答案：A解答：把选项代入模拟运行很容易得出结论选项A代入运算可得1=12+12+2A，满足条件，选项B代入运算可得1=2+12+2A,不符合条件，选项C代入运算可得12A,不符合条件，选项D代入运算可得11+4A,不符合条件.10.答案：D解答：根据题意可知130tanab，所以50cos50sin50tanab，离心率50cos150cos150cos50sin50cos50cos50sin1122222222abe.11.答案：A解答：由正弦定理可得到：222sinsin4sin4aAbBcCabc，即2224acb，又由余弦定理可得到：2221cos24bcaAbc，于是可得到6bc12.答案：B解答：由222AFFB，1ABBF，设2FBx，则22AFx，13BFx，根据椭圆的定义21212FBBFAFAFa，所以12AFx，因此点A即为椭圆的下顶点，因为222AFFB，1c所以点B坐标为3(,)22b，将坐标代入椭圆方程得291144a，解得223,2ab，故答案选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.答案：3yx解答：∵23(21)3()xxyxexxe23(31)xxxe，∴结合导数的几何意义曲线在点(0,0)处的切线方程的斜率3k，∴切线方程为3yx.14.答案：58解析：11a，312334Saaa设等比数列公比为q∴211134aaqaq∴12q所以4S5815．答案：4解答：23()sin(2)3coscos23cos2cos3cos12fxxxxxxx，因为cos[1,1]x，知当cos1x时()fx取最小值，则3()sin(2)3cos2fxxx的最小值为4．16.答案：2解答：如图，过P点做平面ABC的垂线段，垂足为O，则PO的长度即为所求，再做,PECBPFCA，由线面的垂直判定及性质定理可得出,OECBOFCA，在RtPCF中，由2,3PCPF，可得出1CF，同理在RtPCE中可得出1CE，结合90ACB，,OECBOFCA可得出1OEOF，2OC，222POPCOC三、解答题：共70分。第17-21题为必考题，第22,23为选考题，考生需要按照要求作答.（一）必考题：共60分17.解答：（1）男顾客的的满意概率为404505P女顾客的的满意概率为303505P.(2)22100(40201030)4.762(4010)(3020)(4030)(1020)4.7623.841有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.18.解答：（1）由59aS结合591992)(9aaaS可得05a，联立43a得2d，所以102)3(3ndnaan（2）由59aS可得da41，由01a可知0d，所以等差数列na是0na的单调递增数列，故nnaS在Nn时恒成立.19.解答：（1）连结1111,ACBD相交于点G，再过点M作1//MHCE交11BC于点H，再连结GH，NG.,,EMN分别是11,,BCBBAD的中点.于是可得到1//NGCD，//GHDE，于是得到平面//NG