61-2多元函数微分学的几何应用

第六节多元函数微分学的几何应用数学系贺丹第五章多元函数微分学及其应用2定义6.1：设0M是空间曲线上的一点，M是上的另一点。当点M沿曲线趋近于点0M时，割线MM0的极限位置TM0，称为曲线在点0M处的切线。过点0M且与切线TM0垂直的平面称为曲线在点0M处的法平面。6.1空间曲线的切线与法平面xyzoMM0Γ第五章多元函数微分学及其应用3设空间曲线的参数方程为)()()(tzztyytxx，其中)(tx、)(ty、)(tz可微。当0tt及ttt0时，曲线上对应的两点为),,(0000zyxM及),,(000zzyyxxM，则割线MM0的方程为zzzyyyxxx000，上式分母除以t，得tzzztyyytxxx，第五章多元函数微分学及其应用4当点0MM时，有0t，得)()()(000000tzzztyyytxxx即为曲线在点0M处的切线TM0的方程。曲线在点0M处的法平面方程为：.0))(())(())((000000zztzyytyxxtx切线的方向向量000(),(),()axtytzt。第五章多元函数微分学及其应用5例1．求螺旋线2sin2cos2tztytx上对应于4t的点M处的切线与法平面方程。例2．求曲线221216:xzxy在对应于21x的点M处的切线方程与法平面方程。例3．求抛物柱面2xz及圆柱面122yx相交所成的空间曲线在)259,54,53(0M处的切线方程和法平面方程。第五章多元函数微分学及其应用6例1．求螺旋线2sin2cos2tztytx上对应于4t的点M处的切线与法平面方程。解：当4t时，点M的坐标为)42,2,2(。∵ttxsin2)(，ttycos2)(，2)(tz，∴螺旋线在点M处的切线方程为2422222zyx，即1421212zyx；∴2)4(x，2)4(y，2)4(z，第五章多元函数微分学及其应用7注：（1）只要与)(),(),(000tztytx成比例的向量均可作为切线的方向向量。（2）若曲线方程为)(xyy，)(xzz，则以x为参数，曲线),,(0000zyxM处的切线方程为)()(100000xzzzxyyyxx。螺旋线在点M处的法平面方程为0)42(2)2(2)2(2zyx，即02444zyx。第五章多元函数微分学及其应用8例2．求曲线221216:xzxy在对应于21x的点M处的切线方程与法平面方程。解：以x为参数，得曲线L的参数方程：221216xzxyxx，当21x时，点M的坐标为)3,4,21(。∵1)21(x，16)21(y，12)21(z，∴曲线在点M处的切线方程为123164121zyx；法平面方程为0)3(12)4(16)21(zyx，即020124322zyx。第五章多元函数微分学及其应用9例3．求抛物柱面2xz及圆柱面122yx相交所成的空间曲线在)259,54,53(0M处的切线方程和法平面方程。解：曲线的参数方程为2cossincoszyx，则sin)(x，cos)(y，cossin2)(z，点0M对应于03arccos5，故04()5x，03()5y，024()25z，第五章多元函数微分学及其应用10故切线方程为252425953545453zyx，法平面方程为0)259(2524)54(53)53(54zyx，即025216241520zyx。即24259354453zyx。第五章多元函数微分学及其应用11说明：（1）只要与)(),(),(000tztytx成比例的向量均可作为切线的方向向量。（2）若曲线方程为)(xyy，)(xzz，则以x为参数，曲线),,(0000zyxM处的切线方程为)()(100000xzzzxyyyxx。第五章多元函数微分学及其应用12定义6.2若曲面上过点0M的任意一条光滑曲线在点0M处的切线都在同一个平面上，则称该平面为曲面在点0M处的切平面，过点0M且垂直于切平面的直线称为曲面在点0M处的法线。MTnxyzoгo6.2曲面的切平面与法线第五章多元函数微分学及其应用13)()()(tzztyytxx，0tt),,(0000zyxM。由于在曲面上，故0)](),(),([tztytxF，0)](),(),([0tttztytxFdtd，过点0M任作一条位于上的光滑曲线，设其方程为设曲面的方程为0),,(zyxF，),,(0000zyxM，并设函数),,(zyxF的偏导数在该点连续且不同时为零。第五章多元函数微分学及其应用14即0)()()()()()(000000tzMFtyMFtxMFzyx，令)}(),(),({000MFMFMFnzyx，)}(),(),({000tztytxa，则0an，故an。由于a为曲线在点0M处的切线的方向向量，而曲线是曲面上任意一条过点0M的曲线，因此上式表明，过点0M的任一位于曲面上的曲线在0M处的切线都与n垂直，因而它们都在过点0M以n为法向量的同一平面内，该平面即为曲面在点0M处的切平面，第五章多元函数微分学及其应用15曲面在点),,(0000zyxM处的法线方程为000000MzMyMxFzzFyyFxx。0)()()(000000zzFyyFxxFMzMyMx，则曲面在点),,(0000zyxM处的切平面方程为：第五章多元函数微分学及其应用16若曲面方程由显函数),(yxfz给出，令zyxfzyxF),(),,(，于是0),(),,(zyxfzyxF，∵xxfF，yyfF，1zF，∴曲面在点),,(0000zyxM处的切平面方程为))(,())(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx，曲面在点),,(0000zyxM处的法线方程为1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx。第五章多元函数微分学及其应用17yyxfxyxfzzyx),(),(00000，得全微分的几何意义：把方程))(,())(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx变形为函数),(yxfz在点),(00yx处的全微分，在几何上表示曲面),(yxfz在点),,(000zyx处的切平面上点的竖坐标的增量。第五章多元函数微分学及其应用18例4．求圆锥面22yxz在点（3，4，5）处的切平面及法线方程。例5．问球面104222zyx上哪一点的切平面与平面243zyx平行？并求此切平面方程。例6．求曲线0453203222zyxxzyx在点)1,1,1(处的切线方程与法平面方程。第五章多元函数微分学及其应用19例4．求圆锥面22yxz在点（3，4，5）处的切平面及法线方程。解：设22y),(yxxfz，则22),(yxxyxfx，22),(yxyyxfy，∵53)4,3(xf，54)4,3(yf，∴圆锥面在点（3，4，5）处的切平面方程为)4(54)3(535yxz，即0543zyx。圆锥面在点（3,4,5）处的法线方程为554433zyx。第五章多元函数微分学及其应用20例5．问球面104222zyx上哪一点的切平面与平面243zyx平行？并求此切平面方程。解：令104),,(222zyxzyxF，则xFx2，yFy2，zFz2，设切点为0000(,,)Mxyz，则该点处切平面的法向量为000{2,2,2}nxyz，∵切平面与平面243zyx平行，它们的法向量平行，第五章多元函数微分学及其应用21∵点0000(,,)Mxyz在球面104222zyx上，∴222000104xyz，即222000916104zzz，解得02z，06x，08y，∴000222341xyz，解得003xz，004yz，∴切点为)2,8,6(M和)2,8,6(M，相应的切平面方程为0)2()8(4)6(3zyx，和0)2()8(3)6(3zyx。第五章多元函数微分学及其应用22例6．求曲线0453203222zyxxzyx在点)1,1,1(处的切线方程与法平面方程。所求切线的方向向量}1,9,16{21nna，∴切线方程为1191161zyx，法平面方程为0)1()1(9)1(16zyx，即024916zyx。解：曲面03222xzyx在点)1,1,1(处的法向量为}2,2,1{}2,2,32{)1,1,1(1zyxn，平面04532zyx的法向量为}5,3,2{2n。第五章多元函数微分学及其应用23例7．设),(vuF可微，试证曲面0),(bzcyazcxF上各点的法向量总垂直于常向量},,{cbaA。∵0vuvubcFacFbcFacFAn，∴An，故曲面上各点的法向量总垂直于常向量},,{cbaA。证明：设,,),,(),,(bzcyvazcxubzcyazcxFzyx，则曲面在任一点处的法向量为},,{},,{vuvuzyxbFaFcFcFn，第五章多元函数微分学及其应用24习题5.6（P46）作1(2)(3)；3；4(2)(4)(5)；6；10；12。业