第二节-数量积-向量积

本科高等数学1第二节数量积向量积*混合积㈠本课的基本要求掌握向量的数量积与向量积并运用㈡本课的重点、难点向量的数量积与向量积的定义为本课重点，其运用为难点㈢教学内容一．两向量的数量积1．数量积的定义及其性质图由力作功cosABFW引出概念定义1．两向量a、b数量积等于这两个向量的模与它们的夹角的余弦的乘积，记作a·b，即),cos(bababa⑴其中),(ba表示向量a、b间的夹角，规定0≤),(ba≤π，由于数量积中乘法记号用“·”表示，又叫点积。注：这是一个数量数量积也可以用投影表示bjaajbbaabPrPr可得：（1）2aaa（2）对两个非零向量a、b，若0,0,bababa反之，若则,则0),cos(ba，即ba，因此两个非零向量垂直的充要条件是它们的数量积为零。可知，基本单位向量i、j、k具有以下性质：01kijkijikkjjikkjjii(2)运算规律：（1）交换律abba(2)分配律cabacba)((3))()()(bababa2．数量积的坐标计算式设zzyyxxzyxzyxbabababakbjbibbkajaiaa则,,（证略，上课讲）即向量的数量积等于它们对应坐标乘积之和3．两非零向量夹角余弦的坐标表示式222222),cos(zyxzyxzzyyxxbbbaaababababababa所以两个非零向量a、b垂直的充要条件也可用坐标表示为0zzyyxxbababa本科高等数学2例1．已知)3()32()3()2(;)1(,3),(,1,2babaaabababa求解：12112),cos()1(bababa1,4)2(2bbaaa2837243296)3()32()3(bbbaabaababa例2．已知kjibkjia236,424)3()23()3()2(;)1(,babaaaba求解略。例3．已知四点A(1,2,3)，B(5,-1,7)，C(1,1,1)，D(3,3,2)，求：⑴),cos(CDAB⑵ABjCDPr解：41)37()21()15(222AB2),cos(Pr412341142324),cos(3122222CDABABABjCDABCDCD例4．如两力之和与差成直角，求证此两力的大小相等解：设两力分别为kbjbibFkajaiaF32123211，∴kbajbaibaFF)()()(33221121kbajbaibaFF)()()(33221121∵2121FFFF有0))(())(())((333322221111babababababa即232221232221bbbaaa二．两向量的向量积1．向量积的定义及其性质图由力矩引入向量积概念：力矩＝力臂×力定义：两向量a、b的向量积定义为nbababa)sin(其中n是同时垂直于a和b的单位向量，其方向按从a转到b的右手螺旋规则来确定图图FOPM由于向量积用”×”表示，故又叫叉积。本科高等数学3向量积是一个向量，模ba的几何意义如图（2）由定义知：若或知都是非零向量，则由反之，若则0),(0,;0,//bababababa，即a//b∴两个非零向量平行（即共线）两向量的向量积为零向量。例：00aakkjjii满足运算规律：（1）abba(2)acabacbcabacba)(,)((3))()()(bababa2．向量积的坐标计算式图设则,,kbjbibbkajaiaazyxzyxkjbajjbaijbakibajibaiibabazxyyxyzxyxxxkkbajkbaikbazzyzxzkbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()(记kbbaajbbaaibbaabbbaaakjibayxyxzxzxzyzyzyxzyx∴两个非零向量a,b平行的充要条件为：0,0,0xyyxzxxzyzzybabababababa当zyxbbb,,全不为0时，有zzyyxxbababa当zyxbbb,,中出现0时，仍用上式表示，但约定相应的分子为0.如0xb有0xa，且zzyybaba例5．设)()(,,32,2bababakjbkjia求解：kjijikikjiba2383226320121kjibabbbaabaababa46162)()(例6已知}2,2,0{},1,4,2{ba，求同时垂直于a,b的单位向量。解：由向量积定义知，若cba,则c同时垂直于a,b本科高等数学4kjijikikjibac4464248220142)446(681)446(4461222kjikjiccc和)446(681kjic例7．大小为50达因的力作用于点（1，1，0），其方向为向量a={1,2,-1}的方向，求此力关于坐标原点的力矩。解：)2(61kjiaaa图)(650)2(65065001112150kjiikkjkjiAOaM例8．设。，求平行，且与bbabkjia3622解：，又可设)22(,//kjiabba436)414(2aaabakjib848例9．判断：⑴大吃大喝零向量ba,是否一定使下式成立：baaba2)(⑵如果非零向量cba,,使下面等式成立：caba，那么是否一定有cb？例10．设cba,,为三个非零向量，6/)(,3/)(,,,cbcaba，且3,2.1cba，求cba的模。解cbcabaccbbaacbacbacba222)()(236173617cba小结作业：P.310.2,3,4,5,,10