高中数学线性回归方程分析

课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动2.4线性回归方程【课标要求】1．通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系；2．在两个变量具有线性相关关系时，会用线性回归方程进行预测；3．知道最小平方法的含义，知道最小平方法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．【核心扫描】1．散点图的画法，回归直线方程的求解方法．(重点)2．回归直线方程的求解方法，回归直线方程在现实生活与生产中的应用．(难点)课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动1．与函数关系不同，相关关系是一种的关系．2．能用直线方程＝be＋a近似表示的相关关系叫做线性相关关系，该方程叫，给出一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，线性回归方程中的系数a，b满足有关系，但不是确定性线性回归方程b＝ni＝1nxiyi－i＝1nxii＝1nyini＝1nxi2－i＝1nxi2a＝y－bx，自学导引课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动想一想：1.相关关系是不是都为线性关系？提示不是．有些变量间的相关关系是非线性相关的．2．散点图只描述具有相关关系的两个变量所对应点的图形吗？提示不是．两个变量统计数据所对应的点的图形都是散点图．上式还可以表示为b＝i＝1nxiyi－nxyi＝1nxi2－nx2＝i＝1nxi－xyi－yi＝1nxi－x2，a＝y－bx.课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动名师点睛1．相关关系与函数关系的异同点关系异同点函数关系相关关系相同点两者均是指两个变量之间的关系不同点是一种确定性关系是一种非确定的关系是两个变量之间的关系①一个为变量，另一个为随机变量；②两个都是随机变量是一种因果关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系是一种理想关系模型是更为一般的情况课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动2.回归直线方程(1)回归直线方程的思想方法①回归直线：观察散点图的特征，发现各点大致分布在一条直线的附近，就称这两个变量之间具有线性相关的关系，这条直线叫做回归直线．可见，根据不同的标准可画出不同的直线来近似表示这种线性关系．比如，可以连接最左侧点和最右侧点得到一条直线；也可以让画出的直线上方的点和下方的点数目相等，……这些办法，能保证各点与此直线在整体上是最接近的吗？它们虽然都有一定的道理，但总让人感到可靠性不强．②最小二乘法：实际上，求回归直线方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看各点与此直线的距离最小”，即最贴近已知的数据点，最能代表变量x与y之间的关系．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动(2)利用回归直线对总体进行估计利用回归直线，我们可以进行预测，若回归直线方程为：y^＝bx＋a，则x＝x0处的估计值为：y^＝bx0＋a.课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动题型一相关关系的判断【例1】下列两个变量之间的关系中，①角度和它的余弦值；②正方形的边长和面积；③正n边形的边数和其内角度数之和；④人的年龄和身高．不是函数关系的是________．(填序号)[思路探索]函数关系是一种变量之间确定性的关系．而相关关系是非确定性关系．解析选项①②③都是函数关系，可以写出它们的函数表达式：f(θ)＝cosθ，g(a)＝a2，h(n)＝nπ－2π，④不是函数关系，对于相同年龄的人群中，仍可以有不同身高的人．答案④课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动规律方法(1)两变量间主要有两种关系：一是确定的函数关系，另一是不确定的相关关系．同时要注意，两变量间也可能无相关关系，数学中只有统计部分研究不确定的相关关系．(2)函数关系与相关关系的区别的关键是“确定性”还是“随机性”．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动【变式1】下列两个变量中具有相关关系的是________(填写相应的序号)．①正方体的棱长和体积；②角的弧度数和它的正弦值；③单产为常数时，土地面积和总产量；④日照时间与水稻的亩产量．解析正方体的棱长x和体积V存在着函数关系V＝x3；角的弧度数α和它的正弦值y存在着函数关系y＝sinα；单产为常数a公斤/亩土地面积x(亩)和总产量y(公斤)之间也存在着函数关系y＝ax.日照时间长，则水稻的亩产量高，这只是相关关系，应选④.答案④课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动题型二线性回归方程的求法【例2】假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下统计资料：若由资料知y对x呈线性相关关系，求线性回归方程＝bx＋a.[思路探索]本题已知x与y具有线性相关关系，故无需画散点图进行判断，可直接用公式求解．使用年限x(年)23456维修费用y(万元)2.23.85.56.57.0课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动解制表．i12345合计xi2345620yi2.23.85.56.57.025xiyi4.411.422.032.542.0112.3xi24916253690∴x＝4，y＝5，i＝15xi2＝90，i＝15xiyi＝112.3.∴b＝112.3－5×4×590－5×42＝1.23，a＝5－1.23×4＝0.08.∴所求线性回归方程为y^＝1.23x＋0.08.课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动规律方法求线性回归方程的一般步骤：(1)画散点图，看两个变量是不是存在线性相关关系．(2)列表计算x，y，i＝1nxi2，i＝1nxiyi.(建议用列表方法计算)(3)利用(2)的结果计算a、b，得出线性回归方程．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动【变式2】某商店统计了近6个月某商品的进价x与售价y(单位：元)，对应数据如下：求y对x的回归直线方程．x3528912y46391214课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动解∵x＝3＋5＋2＋8＋9＋126＝6.5，y＝4＋6＋3＋9＋12＋146＝8，i＝16xi2＝327，i＝16xiyi＝396，∴b＝i＝16xiyi－6xyi＝16xi2－6x2≈1.143，a＝y－bx≈0.571，∴回归直线方程为y^＝1.143x＋0.571.课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动题型三利用回归直线对总体进行估计【例3】(14分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小平方法求出y关于x的线性回归方程；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)x3456y2.5344.5课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动审题指导本题考查线性回归方程的求解及利用回归直线对总体进行估计．利用公式：b＝i＝1nxiyi－nx·yi＝1nxi2－nx2，a＝y－bx来求出系数．【解题流程】课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动[规范解答](1)由题设所给数据，可得散点图，如右图所示．(3分)(2)由对照数据，计算得：i＝14xi2＝86，x＝3＋4＋5＋64＝4.5，y＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，已知i＝14xiyi＝66.5.(6分)课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动所以由最小平方法确定的线性回归方程的系数为b＝i＝14xiyi－4xyi＝14xi2－4x2＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝0.7，a＝y－bx＝3.5－0.7×4.5＝0.35.因此，所求的线性回归方程为y^＝0.7x＋0.35.(10分)(3)由(2)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，可得降低的生产能耗为90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(吨标准煤)．(14分)课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动【题后反思】解决此类问题首先根据所给数据画出散点图，根据散点图判断两个变量之间是否具有相关关系，如果两个变量之间不具有相关关系，或者说，它们之间的关系不显著，即使求得了线性回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的结果也是不可信的．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动【变式3】以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和新房屋的面积x的数据：(1)画出数据对应的散点图；(2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；(3)据(2)的结果估计当新房屋面积为150m2时的销售价格．新房屋面积(m2)11511080135105销售价格(万元)24.821.618.429.222课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动解(1)数据对应的散点图如图所示．(2)x＝15i＝15xi＝109，lxx＝5i＝1(xi－x)2＝1570，y＝23.2，lxy＝5i＝1(xi－x)(yi－y)＝308，设所求回归直线方程为y^＝b^x＋a^，则b^＝lxylxx＝3081570≈0.1962，a＝y－bx＝23.2－109×3081570≈1.8166.故所求回归直线方程为y^＝0.1962x＋1.816.6.(3)据(2)，当x＝150m2时，销售价格的估计值为：y^＝0.1962×150＋1.8166＝31.2466(万元)．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动误区警示最小二乘法的原理不清而出错【示例】已知x、y之间的一组数据如下表：x13678y12345对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为y＝13x＋1与y＝12x＋12，试利用最小二乘法思想判断哪条直线拟合程度更好．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动[错解]x、y作为点的坐标，作出所给数据的散点图．用y＝13x＋1作为拟合直线时，散点图上的点到拟合直线的距离之和为课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动思维突破题目要求利用最小二乘法思想判断哪条直线拟合程度更好，不是用散点图上的点到拟合直线的距离之和最小来判断．[正解]用y＝13x＋1作为拟合直线时，所得y估计值与y的实际值的差的平方和为S1＝43－12＋(2－2)2＋(3－3)2＋103－42＋113－52＝73；用y＝12x＋12作为拟合直线时，所得y估计值与y的实际值的差的平方和为S2＝(1－1)2＋(2－2)2＋72－32＋(4－4)2＋92－52＝12；∴S2＜S1，∴用直线y＝12x＋12拟合程度更好．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动追本溯源最小二乘法思想是：计算散点图上的各散点与拟合直线y＝bx＋a在垂直方向(纵轴方向)上的距离的平方和S，用来衡量拟合直线y＝bx＋a与散点图中所有点的接近程度，使S达到最小值的a，b的值就是最好的拟合直线y＝bx＋a方程中的a，b，这种方法叫做最小二乘法.