新商品申请-亚式期权

1亚式期权模型评价一、亚式期权商品说明亚式期权与一般期权之不同，在于其「平均」之概念。其方式可分为资产价格平均（AverageRateOptions:ARO）或履约价平均（AverageStrikeOptions:ASO）两种，以前者较为常见，其到期之报酬是由过去标的资产之平均价格与履约价格之差别而定，而非一般期权由标的资产到期价格与履约价格而定。由于平均价格之波动性低于标的资产价格，故亚式期权之价格较一般期权为低。以下列出各种亚式期权之到期报酬支付形式：资产价格平均：看涨：]0,)),0(([KTFAverageMax看跌：]0)),,0(([TFAverageKMax履约价平均：看涨：)0)),,0(([TFAverageFMaxT看跌：]0,)),0(([TFTFAverageMax其中TF＝标的资产到期价格K=履约价T=期权到期日二、亚式期权定价模型与模型测试（一)亚式期权之定价模型亚式期权之平均方式又可分为「几何平均」与「算数平均」。假设资产价格呈log-normal分布时，由于log-normal分布之几何平均本身亦为log-normal分布，故几何平均亚式期权可依据Black-Scholes模型加以更改，得到良好的公式解。但一般实务上仍以算数平均期权较为常见，由于log-normal分布之算数平均不为log-normal分布，算数平均期权之评价较为困难。因计算过程繁复，2算数平均亚式期权难以用数值法评价，也难以找出精确的公式解，一般都以近似之方法求出逼近之公式解，或是使用如MonteCarlosimulation等模拟法。考虑标的物动态0),(TTdWFdtFdFTTT这里是一固定数)(TW是一个标准布朗运动，是一个波动度常数这里0t式开始平均标的物的时刻，设定Ttt0我们把观察期分成nttt,...,,21。(执行价通常为一个月的观察期报价平均)niiFnTtA101),(为一个算术平均术且nniiFG11为一个几何平均目标看涨：]0,)),0(([KTFAverageMaxeECrTS(1)看跌：]0)),,0(([TFAverageKMaxeEPrTS(2)看涨：)0)),,0(([TFAverageSMaxeECTrTA(3)看跌：]0,)),0(([TrTAFTFAverageMaxeEP(4)这里是一个亚式期权四种型态，到期日为T，主要方法T:期权到期日t0:期权开始平均t:期权开始日3AprxmGA*这里，Aprxm是个误差调整项性质1误差调整项的平均值nttnAprxmEn22222112)1(1242232223226121512381tnntnnn2222222112121nttnntTt/)(0且0AprxmVar当0t性质2几何平均的变异数02022T6121)(tnnntttTG0022212)(2tTnntttTGG因此平均算术平均数为)()(2exp),(20tTWtTFAprxmETtAGGGt为一个几何布朗动态股价亚式看涨期权评价公式型态一]0,)),0(([KTFAverageMaxeECrTS)()(21)()(dKdeAprxmEFetTttTrG（5）4tTtTKFAprxmEdGGt)(2ln21且tTddG12型态二]0)),,0(([TFAverageKMaxEPS)()(1)(2)(deAprxmEFdKetTttTrG（6）其中tTtTKFAprxmEdGGt)(2ln21且tTddG12)(是标准正态的累积机率密度函数型态三)0)),,0(([TFAverageSMaxeECTrTA)()(2)(1)(deAprxmEdFetTttTrG（7）这里tTtTAprxmEdG)(21ln21且tTdd12GG2222，关系系数),(ln),(ln0TtATFcorr型态四看跌：]0,)),0(([TrTAFTFAverageMaxeEP)()(12)()(ddeAprxmEFetTttTrG(8)其中tTtTAprxmEdG)(21ln21且tTdd12GG2222，关系系数),(ln),(ln0TtATScorr此公式为半封闭解（Semi-closedform），因为我们使用几何平均的变异数5来代替算术平均数的变异数，理论上变异数变小，期权的价值变小,在特殊情形下都可以适用,特别是一开始没有以实现的期货价格进来的时候可以使用。在一般的情状之下,我们需要使用蒙地卡罗来实现定价的原理。二、蒙地卡罗的仿真模拟由于亚式期权为一种新奇期权，因此，在模型研发上，尤须了解其定价模型之收敛效果及对各种参数之敏感性。我们采用MonteCarlo为其定价模型，故在模型测试上着重于评估其敏感性。我们将分成ARO与ASO分别在2.1节与2.2讨论分析：2.1亚式期权定价模型测试(CalloptionsoftheARO)以下将以一组实际数据来进行本公司研发之模型在定价亚式期权上的敏感性分析，测试结果显示，本公司所采用之评价模型，在价格及避险参数的表现上都与产品特性相符。我们假设有一算数平均亚式ARO看涨的发行条款进行如下分析：（1）ARO权利金对标的物的初始价格0F与到期日t-T的分析假定t-T为X轴范围是从一个月到一年,是合同剩余时间,随着时间的推移,也随个变小,所实限的过去价格都是以0F是为目前价格,为Y轴范围是从220块到260块「1」,以图2-1-1说明如下,其他参数整理如下：参数如表2-1-1履约价格K标的资产波动率无风险利率r蒙地卡罗每天一个观察期240元13%6%1000001以下我们所划的图.都是以该条件之下成立而言6图2-1-1权利金对标的物的初始价格0F与到期日T2.2亚式期权定价模型测试(CalloptionoftheASO)以下将以一组实际数据来进行本公司研发之模型在定价亚式期权上的敏感性分析，测试结果显示，本公司所采用之评价模型，在价格及避险参数的表现上都与产品特性相符。我们假设有一算数平均亚式ASO看涨的发行条款如下：(1)履约价平均（ASO）权利金对标的物的初始价格0F与到期日t-T的分析假定t-T为X轴范围是从一个月到一年,0F为Y轴范围是从220块到260,其他参数整理如下：,表2-2-1标的资产波动率无风险利率蒙地卡罗每天一个观察值13%6%1000007根据图2-2-1权利金对标的物的初始价格0F与到期日t-T的分析根据图2-2-1,我们发现权利金在1.5快到六块多,时间的影响相对标的物的起始价多,时间越长权利金越高,在标的物的起始价格上影响相对少这与ARO的亚式不同,我们特别的注意到在初始的时候会抖降权利金,这是因为ASO起初的执行价格与标的物的本身价格有关,这特性会在期出避险的时别重要。总之,存续期间愈长，则随时间越容易价内,则期权之价格亦愈高这些都与一般期权之看涨特性相符,但亚式期权有另一特性，那就是若期权已生效一段时间，过去已发生的的平均价格就会影响期权价格，接近到期日时（或者是平均的天数越长），平均价格的影响力将高于后期标的物资产价格。三、亚式期权之风险冲销策略（一）亚式期权风险特性之分析基本上，亚式期权与一般型期权同样拥有期权的基本风险参数，即delta、gamma、vega、theta和rho。避险参数可由下列式子蒙地卡罗的方式计算8SSSfSSfSf),*5.0(),*5.0(2)(),(),(2),(SSSfSfSSfSdelta),*5.0(),*5.0(fffvegarrrfrrfrfRho),*5.0()*5.0(这里我们在实务上是使用),(),0.01(fffvega这里的hetaT[2]为了顾及程序的效率性，我们不再让它用蒙地卡罗产生,所以我们去解Black-Scholespartialdifferenceequation,如下2221SrSrc然后在呈现)1/245(*交易日如下面圖形亚式其与一般型期权最大差别在于其到期报酬决定取决于多期之平均价格，而非单一时点价格。分析亚式期权（ARO,ASO）风险分叙述特性如下：3.1.1资产价格平均(ARO)避险值探究资产价格平均(ARO)：Delta对初始价格0F与到期日T的分析,这里的时间是指现在到合约到期的时间长度t-T。以下我们改用符号表3.1.1履约价格K标的资产波动率无风险利率r蒙地卡罗每天一个观察值240元13%6%1000002这里的一般监测风险时是用),(),245/1(-Tfffheta这里的时间是合同剩余的时间,上面两个均以单位化的表示9图3.1.1Delta对初始价格0F与到期日的分析(forARO)我们展现一个避险值,假定0F为X轴范围是从220块到260为Y轴范围是从一个月到一年,我们可以发现到当起始价格改变时改变时,Delta的值比较大,整体而言,Delta值在标的的起始值大的比较接近一。我们使用相同的数据来看Gamma避险值的表现。10图3.1.2Gamma对初始价格0F与到期日t-T的分析(forARO)在图形中在相对时间的影响之下，我们发现标的物的起始价格对Gamma的影响还是比较大,因此在避险的deltaneutral之下我们发现亚式选择权的变动量在相较一般欧式选择权之下式相对小的。11图3.1.3Vega对初始价格0F与到期日的分析(forARO)我们可以发现到当改变时,Vega的值比较大,在期权平值得时候影响也大,整体而言Vega变化很大。12图3.1.4Theta对初始价格0F与到期日的分析(forARO)整体而言Theta只对标的物的起始价格变化影响较大，本图展示的是期权剩余价值的时间,也就是我们是对t-T的时间。「3」3一般而言是对是对tT的小t作微分13图3.1.5Rho对初始价格0F与到期日的分析(forARO)整体而言Rho只对标的物的到期时间长短变化影响较大我们展现一个避险值,假定0F为X轴范围是从220块到260块,为Y轴范围是从一个月到一年,我们可以发现到当起始价格改变时改变时,Delta的值比较大,整体而言,离值为一的Delta很小(离值为一很远)。3.2.1履约价平均(ASO)避险值探究Delta对初始价格0F与到期日的分析表3-2-1标的资产波动率无风险利率蒙地卡罗13%6%100000图3-2-1履约价平均(ASO)：Delta对初始价格0F与到期日重视期初之避险,亚式期权另一特性是其各种风险系数在期末时均为最高，而之后慢慢上升。在到期时拉长后因为delta并不趋近1，并不需要持有一对一之避险部位，也因此其避险成本较为低廉，故其价格也较为低廉。但若本公司是14期权之卖方，相对而言能收取之权利金亦较低，故仍须在避险上妥善处理。图3-2-2履约价平均(ASO)：Gamma对初始价格0F与到期日因为这类的亚式选择权执行价与标的资产的变动有关,因此在Gam