中考数学专题复习--三角形与全等三角形

三角形与全等三角形知识点一、三角形的概念1．三角形：由不在同一直线上的三条线段组成的图形叫三角形。2．三角形的基本元素：三角形有条边，个顶点，个内角，三角形具有稳定性。3．三角形的分类：（1）按角分：锐角三角形三角形直角三角形钝角三角形（2）按边分：三边都不相等的三角形三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形知识点二、三角形的性质：1．三角形边的关系：（1）三角形任意两边之和第三边；（2）任意两边之差第三边。2．三角形角的关系：（1）三角形的内角和是，直角三角形两个内角互余；（2）三角形的外角和等于；（3）三角形的任意一个外角和它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角任意一个和它不相邻的内角。知识点三、三角形中的重要线段：1．三角形的角平分线：（1）定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线；一个三角形有三条角平分线，都在三角形内部；（2）性质：三角形的三条角平分线都在三角形部，且交于一点，这点是三角形的心，它到的距离相等。2．三角形的中线：◆◆◆名师提醒◆◆◆等边三角形属于特殊的等腰三角形，锐角三角形和钝角三角形有时称为斜三角形。◆◆◆名师提醒◆◆◆（1）三角形的外角是指三角形一边和另一边的延长线组成的角，三角形有六个外角，三角形的外角和等于360°，是指其中三个外角的和。（2）三角形三边关系定理是确定三条线段否构成三角形和判断线段间不等关系的主要依据。（1）定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边的线段，叫做这个三角形的中线；（2）一个三角形有三条中线，都在三角形的，且交于一点；3．三角形的高线：（1）从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点与垂足之间的叫做三角形的高；（2）不同三角形的三条高线位置不同，锐角三角形三条高都在三角形，直角三角形有一条高线在部，另两条和重合；钝角三角形有一条高线在三角形部，两条在三角形部。4．三角形的中位线：连接三角形任意两边的线段叫做三角形的中位线。定理：三角形的中位线第三边且等于第三边的。知识点四、全等三角形的概念和性质1．的两个三角形叫做全等三角形2．全等三角形的性质：全等三角形的、分别相等，全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高线）、周长、面积分别对应。知识点五、全等三角形的判定1．一般三角形的全等判定方法：（1）边边边，简记为；（2）边角边，简记为；（3）角边角，简记为；（4）角角边：简记为。2．直角三角形的全等判定除可用一般三角形全等判定的所有方法以外，还可以用来判定。◆◆◆名师提醒◆◆◆三角形的平分线、中线、高线、中位线都是线段，且都有三条；注意区分三角形的角平分线与角平分线的区别，前者是线段，后者是射线。◆◆◆名师提醒◆◆◆全等三角形的性质是证明线段、角等之间数量关系的最主要依据。★★★中考典例剖析★★★考点一：三角形三边关系例1两根木棒的长分别为7cm和10cm．要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形框架，那么，第三根木棒长x（cm）的范围是______．例2（2018•陇南）已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a-7|+（b-1）2=0，c为奇数，则c=．例3：若abc，，为ABC△的三边，则abcabc______0（填“＞，＝，＜”）．变式练习1．（2018•福建）下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（）A．1，1，2B．1，2，4C．2，3，4D．2，3，52．若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足2920ab（），第三边c为奇数，则c=．◆◆◆名师提醒◆◆◆1．判定全等三角形的条件中，必须至少有一组边对应相等；用SAS判定全等，切记角为两边的夹角；2．判定全等三角形的有关条件要特别注意“对应”两个字；3．证明三角形全等的一般思路如下：（1）SSSSASHL找第三边（）已知两边找夹角（）找是否有直角（）；（2）ASASASAASAASHL找这边的另一邻角（）已知一边和邻角找这个角的另一边（）找这边的对角（）已知一边一角找一角（）已知一边和它的对角已知角是直角，找一边（）（3）ASAAAS找两角的夹边（）已知两角找夹边外的任意边（）。●●●触雷警示●●●忽略三角形三边关系的条件三条线段能够组成三角形，必须满足：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，在解答此类问题时，容易忽略三边是否满足组成三角形的条件。考点二：三角形内角和及其推论例1、（1）、△ABC中，∠C=90°，∠B-2∠A=30°，则∠A=，∠B=（2）、在等腰三角形中，一个角是另一个角的2倍，求三个角？__（3）、在△ABC中，若∠A-∠B=200,∠A=2∠C,、则∠A=.∠B.∠C=.例2、（2018•巴中）如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC=110°，则∠A=．例3、如图，在△ABC中，已知，∠B=∠C,∠1=∠2,∠3=∠4,∠A=800,求∠EDF的度数4321BCAEDF变式练习1．（2018•长春）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（）♥♥♥思维升华♥♥♥三角形内角和定理及推论主要解决以下几种问题：（1）已知两个内角求第三个内角，根据三个角的大小判定三角形的形状；（2）三角形的一个外角与其不相邻的两个内角中已知二者求第三者；（3）比较不同三角形中角的大小。A．44°B．40°C．39°D．38°2．（2018•青海）小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中∠E=90°，∠C=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠1+∠2等于（）A．150°B．180°C．210°D．270°考点三：三角形外角的性质例1、（2018•聊城）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，那么下列式子中正确的是（）A．γ=2α+βB．γ=α+2βC．γ=α+βD．γ=180°-α-β例2、已知：BD为ABC的角平分线，CD为ABC的外角的ACE的平分线，它与BD的延长线交于D.求证：DA2变式练习1．（2018•眉山）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．85°2、如图，在△ABC中，∠A=36°，点E是BC延长线上一点，∠DBA=31∠ABC，∠DCA=31∠ACE，求∠D的度数BEADC3、如图1，点B,C分别在∠A的两边上，BE和CD交于点F,连接DE，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。FBACEDBACO考点四：三角形全等的判定和性质♥♥♥思维升华♥♥♥三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。例1、如图：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。求证：MB=MCBCMAFE例2、如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF例3.如图，在ABC中，BE是∠ABC的平分线，ADBE，垂足为D。求证：21C。AEBMCF●●●触雷警示●●●全等三角形性质与判定的误区在解答与全等三角形的性质与判定有关的问题时，注意以下两点：（1）在判定两个三角形全等或应用其性质时，要找对对应边、对应角；（2）当两个三角形具备“SSA”条件时，两个三角形不一定全等。变式练习1.如图，,APCP分别是ABC外角MAC和NCA的平分线，它们交于点P。求证：BP为MBN的平分线。2.如图，D是ABC的边BC上的点，且CDAB，ADBBAD，AE是ABD的中线。求证：2ACAE。♥♥♥思维升华♥♥♥寻找全等三角形的对应边、对应角的常用的方法：具体方法对应角的寻找方法全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。有公共角的，公共角一定是对应角。有对顶角的，对顶角一定是对应角。全等三角形中最大角是对应角，最小角也是对应角。对应边的寻找方法全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边。有公共边的，公共边一定是对应边。全等三角形中最大的边是对应边，最小边也是对应边。