因式分解(基本方法)

LOGO第一期：因式分解XUSUHUA提公因式法整式的乘法计算下列各式:x(x+1)=；(x+1)(x-1)=；(x+1)2=.x2+xx2-1x2+2x+12016能被哪些数整除？你是怎样想的?2019367320182100920172017提公因式法请把下列多项式写成整式的乘积的形式:(1)x2+x=___________；(2)x2-1=___________；(3)x2+2x+1=___________.x(x+1)(x+1)(x-1)上面我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.(x+1)(x+1)提公因式法x2-1因式分解整式乘法(x+1)(x-1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形提公因式法由m(a+b+c)=ma+mb+mc可得:ma+mb+mc=m(a+b+c)，这样就把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做.它的各项都有一个公共的因式m，我们把因式m叫做这个多项式的；ma+mb+mc公因式提公因式法提公因式法例1.把8a3b2+12ab3c分解因式.分析：8a3b2+12ab3c的公因式是什么？最大公约数相同字母最低指数公因式4ab2一看系数　二看字母　三看指数观察方向提公因式法例1.把8a3b2+12ab3c分解因式.解:8a3b2+12ab3c=4ab2•2a2+4ab2•3bc=4ab2(2a2+3bc).提公因式法例2.把2a(b+c)-3(b+c)分解因式.分析:(b+c)是这个式子的公因式，可以直接提出.解:2a(b+c)–3(b+c)=(b+c)(2a-3).提公因式法练1.判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?(1)x2－4y2=(x+2y)(x－2y)；(2)2x(x－3y)=2x2－6xy；(3)(5a－1)2=25a2－10a+1；(4)x2+4x+4=(x+2)2；(5)(a－3)(a+3)=a2－9(6)m2－4=(m+2)(m－2)；(7)2πR+2πr=2π(R+r).因式分解整式乘法整式乘法因式分解整式乘法因式分解因式分解提公因式法温馨提示：各项系数都是整数时，因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的.练2.说出下列多项式各项的公因式：(1)ma+mb；(2)4kx－8ky；(3)5y3+20y2；(4)a2b－2ab2+ab.m4k5y2ab提公因式法平方差公式：完全平方公式：22bababa2222bababa2222bababa2222bababa________22xx__________52a____________77mm42x25102aa49142mm公式法1平方差公式逆用bababa22公式法1bababa22两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积.公式法1例1.判断下列各式是否可以运用平方差公式进行因式分解.×√√√√√公式法1(x2–1)(x+1)(x–1)因式分解一定要分解彻底!例2.将前面②~⑥各式运用平方差公式进行因式分解公式法1在我们现学过的因式分解方法中，先考虑提取公因式，再考虑用公式法.例2.将前面②~⑥各式运用平方差公式进行因式分解公式法1YXYXYX例2.将前面②~⑥各式运用平方差公式进行因式分解公式法1=(999+1)2=106完全平方公式逆用就像平方差公式一样，完全平方公式也可以逆用，从而进行一些简便计算与因式分解。即：2222bababa公式法12222bababa两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的两倍，等于这两个数的和（或差）的平方。公式法1形如a2±2ab+b2的式子叫做完全平方式。完全平方式一定可以利用完全平方公式因式分解例3.判断下列各式是否可以运用完全平方公式进行因式分解.×√√√√√公式法1完全平方式的特点：1、必须是三项式（或可以看成三项的）2、有两个同号的平方项3、有一个乘积项（等于平方项底数的±2倍）简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央。222baba公式法1=(4x+3)2=–(4x2–4xy+y2)=–(2x–y)2=4(x2–2xy+y2)=4(x–y)2例4.将例3中的完全平方式利用完全平方公式进行因式分解公式法1=(a2–1)2=(a+1)2(a–1)2=[(a+1)(a–1)]2=(p+q–6)2XXX例4.将例3中的完全平方式利用完全平方公式进行因式分解公式法1练.用恰当的方法进行因式分解.备选方法：提公因式法平方差公式完全平方公式996441122222222222xxxyxyxnmnmaa④③②①公式法1例1.因式分解ab–ac+bd–cd.分组分解法练1.把下列各式因式分解①2x–10y+5y–x;②1–xy+x–y;③6ax2–9a2xy+2xy–3ay2;④4x2–4y2–25z2+20yz;⑤16–x2n+2xny–y2;⑥xy–xz–y2+2yz–z2.两轮提公因式两轮用公式法组合使用两轮分组分解法分组分解法完全立方公式：2233abaabbabm3322333abaababb三项和的平方公式：2222222abcabcabbcca平方差公式：完全平方公式：22bababa2222bababa立方和(差)公式：公式法22242________xxx24164__________aaa37___________________m38x364a326128xxx32_____________x35_________________a22_______________________xy3221147343mmm231257515aaa224244xyxyxy222444xyxyxy公式法22242xxx24164aaa37m38_______________x364__________________a326128_________xxx32x35a22xy3221147343__________mmm231257515__________aaa222444___________xyxyxy公式法23322ababaabbm3322333aababbab2222222abcabbccaabc公式法2公式法2特例：一般形式：xpxq256xx2xpqxpq32xx更一般形式：axbcxd2acxadbcxbd十字相乘法上面出现了一个公式：(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq我们可以用它进行因式分解（适用于二次三项式）11133+1=41x2+4x+3十字相乘法练1.把下列各式分解因式：①x2–7x+10②a2–6a+5③a2–5a+6④x2–(2m+1)x+m2+m–2小结：对于这个公式，就是把常数项拆成两个数的乘积，而这两个数的和刚好等于一次项系数.十字相乘法上面还出现了一个公式：(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd所以，需要将二次项系数与常数项分别拆成两个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式分解就成功了.十字相乘法=1723124+3=713522+15=1113255+6十字相乘法=–65x2–6xy–8y215–244–10十字相乘法简记口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中.二次齐次式十字相乘法练2.把下列各式因式分解①4a2–9a+2②7a2–19a–6③2(x2+y2)+5xy④x2+144y2–25xy十字相乘法练3.把下列各式因式分解①12x2–11xy–15y2②–20xy+x2+64y2③12x2+7y2–19xy④(a2+2a)2-2(a2+2a)–3⑤(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1⑥(x+m)(x+2m)(x+3m)(x+4m)+m4十字相乘法LOGOYourcompanysloganinhere