高等数学函数的极值及其求法4

函数的极值及其求法由单调性的判定法则，结合函数的图形可知，曲线在升、降转折点处形成“峰”、“谷”，函数在这些点处的函数值大于或小于两侧附近各点处的函数值。函数的这种性态以及这种点，无论在理论上还是在实际应用上都具有重要的意义，值得我们作一般性的讨论。一、函数极值的定义oxyab)(xfy1x2x3x4x5x6xoxyoxy0x0x.)()(,)()(,,,;)()(,)()(,,,,),(,),()(000000000的一个极小值是函数就称均成立外除了点任何点对于这邻域内的的一个邻域如果存在着点的一个极大值是函数就称均成立外除了点任何点对于这邻域内的的一个邻域如果存在着点内的一个点是内有定义在区间设函数xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.二、函数极值的求法设)(xf在点0x处具有导数,且在0x处取得极值,那末必定0)(0'xf.定理1(必要条件)定义.)()0)((的驻点做函数叫的实根即方程使导数为零的点xfxf注意:.,)(是极值点但函数的驻点却不一定点的极值点必定是它的驻可导函数xf例如,,3xy,00xy.0不是极值点但x注①这个结论又称为Fermat定理②如果一个可导函数在所论区间上没有驻点则此函数没有极值，此时导数不改变符号③不可导点也可能是极值点可疑极值点：驻点、不可导点可疑极值点是否是真正的极值点，还须进一步判明。由单调性判定法则知，若可疑极值点的左、右两侧邻近，导数分别保持一定的符号，则问题即可得到解决。(1)如果),,(00xxx有;0)('xf而),(00xxx,有0)('xf，则)(xf在0x处取得极大值.(2)如果),,(00xxx有;0)('xf而),(00xxx有0)('xf，则)(xf在0x处取得极小值.(3)如果当),(00xxx及),(00xxx时,)('xf符号相同,则)(xf在0x处无极值.定理2(第一充分条件)xyoxyo0x0x(是极值点情形)xyoxyo0x0x求极值的步骤:);()1(xf求导数;0)()2(的根求驻点，即方程xf;,)()3(判断极值点在驻点左右的正负号检查xf.)4(求极值(不是极值点情形)例1解.593)(23的极值求出函数xxxxf963)(2xxxf，令0)(xf.3,121xx得驻点列表讨论x)1,(),3()3,1(13)(xf)(xf00极大值极小值)3(f极小值.22)1(f极大值,10)3)(1(3xx593)(23xxxxfMm图形如下设)(xf在0x处具有二阶导数,且0)(0'xf,0)(0''xf,那末(1)当0)(0''xf时,函数)(xf在0x处取得极大值;(2)当0)(0''xf时,函数)(xf在0x处取得极小值.定理3(第二充分条件)证)1(xxfxxfxfx)()(lim)(0000,0异号，与故xxfxxf)()(00时，当0x)()(00xfxxf有,0时，当0x)()(00xfxxf有,0所以,函数)(xf在0x处取得极大值例2解.20243)(23的极值求出函数xxxxf2463)(2xxxf，令0)(xf.2,421xx得驻点)2)(4(3xx,66)(xxf)4(f,018)4(f故极大值,60)2(f,018)2(f故极小值.4820243)(23xxxxf图形如下Mm注意:.2,)(,0)(00仍用定理处不一定取极值在点时xxfxf例3解.)2(1)(32的极值求出函数xxf)2()2(32)(31xxxf.)(,2不存在时当xfx时，当2x;0)(xf时，当2x.0)(xf.)(1)2(的极大值为xff.)(在该点连续但函数xf注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.M例4)0(12,02aeaxxxx时证明证xeaxxxf12)(2记xeaxxf22)(则（不易判明符号）xexf2)(2ln0)(xxf得令0)(,2lnxfx时当0)(,2lnxfx时当的一个极大值点是)(2lnxfx而且是一个最大值点，)2(ln)(fxf222ln2a0)(,0xfx时0)0()(fxfxeaxx122即例5设f(x)连续，且f(a)是f(x)的极值，问f2(a)是否是f2(x)的极值证分两种情况讨论①0)(),()(afafxf且设时，有使当),(,0aax)()(22afxf所以f2(a)是f2(x)的极小值②设f(a)是f(x)的极小值，且0)(af时，有使当),(,0111aax)()(afxf又f(x)在x=a处连续，且0)(af时，有使当),(,0222aax0)(xf},min{21令时，有则当),(aax0)()(xfaf)()(22afxff2(a)是f2(x)的极大值同理可讨论f(a)是f(x)的极大值的情况例6假定f(x)在x=x0处具有直到n阶的连续导数，且0)(,0)()()(0)(0)1(00xfxfxfxfnn但证明当n为偶数时，f(x0)是f(x)的极值当n为奇数时，f(x0)不是f(x)的极值证由Taylor公式，得nnxxnfxfxf)(!)()()(0)(0)(0之间与在xx处连续在又0)()(xxfn0)()(lim0)()(0xfxfnnxx因此存在x0的一个小邻域，使在该邻域内同号与)()(0)()(xfxfnn同号与)()(0)()(xffnn下面来考察两种情形①n为奇数，当x渐增地经过x0时nxx)(0变号!)()(nfn不变号)()(0xfxf变号)(0xf不是极值②n为偶数，当x渐增地经过x0时nxx)(0不变号!)()(nfn不变号)()(0xfxf不变号)(0xf是极值且当0)(0)(xfn时)(0xf是极小值0)(0)(xfn当时)(0xf是极大值极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为临界点.函数的极值必在临界点取得.判别法第一充分条件;第二充分条件;(注意使用条件)三、小结思考题下命题正确吗？如果0x为)(xf的极小值点，那么必存在0x的某邻域，在此邻域内，)(xf在0x的左侧下降，而在0x的右侧上升.思考题解答不正确．例0,20),1sin2(2)(2xxxxxf当0x时，)0()(fxf)1sin2(2xx0于是0x为)(xf的极小值点当0x时，当0x时，,0)1sin2(2xxx1cos在–1和1之间振荡因而)(xf在0x的两侧都不单调.故命题不成立．xxxxf1cos)1sin2(2)(