空间立体几何中的平行、垂直证明

空间中的平行与垂直农八师高级中学数学组肖蕾考纲分析《2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）考试大纲的说明》中要求：了解空间直线和平面的位置关系，理解直线和平面垂直的判定定理和性质定理；了解平面与平面的位置关系，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。同时，考纲指出：能以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中的线面平行、垂直的有关性质与判定定理。能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。高考命题分析近年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，常常立足于棱柱、棱锥和正方体。客观题中，多考查平行与垂直有关的命题真假的判断，在解答题中多考查线线、线面、面面平行及垂直的证明。复习时多面体为依托，始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的性质和判定作为重点。在新课标教材中立体几何的要求有所降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，知识深化和拓展。空间平行之间的转化解决空间直线与平面平行与垂直的相关问题，特别要注意下面的转化关系：①②③④⑤复习定理空间中的平行////abaab平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行．1.直线与平面平行的判定b☺简称：线线平行，线面平行.复习定理空间中的平行////aaabb一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．2.直线与平面平行的性质☺简称：线面平行，线线平行.☺简称：线面平行，线线平行.复习定理空间中的平行➳判定:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．3.平面与平面平行的判定与性质,//////ababAab☺简称：线面平行，面面平行.复习定理空间中的平行➳性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任何一条直线都平行于另外一个平面。4.平面与平面平行的判定与性质☺简称：面面平行，线面平行.复习定理////aa空间中的平行➳性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．5.平面与平面平行的判定与性质////aabb☺简称：面面平行，线线平行.复习定理空间中的平行ABCDEFBCBAFEDCBAABCD平面求证：的中点。，分别是中，点－长方体//,.1111111A1AB1C1CD1DBEF看到中点找中点定理应用空间中的平行方法一）：构造平行四边形A1AB1C1CD1DBEFNM定理应用空间中的平行方法二）：构造平行平面A1AB1C1CD1DBEFH定理应用空间中的平行Ｄ证明：ＭＮ／／面ＰＣ点，分别是ＰＡ，ＢＣ的中平行四边形，是中，已知四边形如图所示，在四棱锥例N,MABCDABCDP.2ADCBPNM定理应用空间中的平行ADCBPNM构造平行四边形H定理应用空间中的平行ADCBPNM构造平行平面Q定理应用空间中的平行④③②①线线垂直线面垂直面面垂直空间垂直之间的转化解决空间直线与平面垂直的相关问题，特别要注意下面的转化关系：复习定理空间中的垂直判定：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,则称这条直线和这个平面垂直..mnmnPllmlnlnmP1．直线与平面垂直判定☺简称：线线垂直，线面垂直.复习定理空间中的垂直判定：如果一条直线和一个平面垂直,则称这条直线和这个平面内任意一条直线都垂直.2．直线与平面垂直性质☺简称：线面垂直，线线垂直.mlml复习定理空间中的垂直bb判定：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直.3．平面与平面垂直判定b☺简称：线面垂直，面面垂直.复习定理空间中的垂直性质：如果两个平面互相垂直，则其中一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面.laaal4．平面与平面垂直性质αβal☺简称：面面垂直，线面垂直.复习定理空间中的垂直1．垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．2．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．归纳小结1.如图所示，在四面体ABCD中，AD⊥底面ABC，AB=3，AC=5，BC=4.1）在四面体ABCD中有几个直角三角形？2）有几组平面垂直？3）你能找出A点在面BCD上的射影吗？3、如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形。60,2,DABABADPD底面ABCD，证明：PABD练习：.下列命题中，m、n表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面.①若m⊥α,n∥α,则m⊥n;②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β；③若m∥α,n∥α,则m∥n;④若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ.正确的命题是()A.①③B.②③C.①④D.②④解析②中平面α与β可能相交，③中m与n可以是相交直线或异面直线.故②③错，选C.C例1.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，点D是AB的中点．(1)求证：BC1∥平面CA1D；(2)求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B.证明：(1)连结AC1交A1C于E，连结DE．∵AA1C1C为矩形，则E为AC1的中点．又D是AB的中点，∴在△ABC1中，DE∥BC1.∴BC1∥平面CA1D.又DE⊂平面CA1D，BC1⊄平面CA1D，E又AA1∩AB＝A，∴CD⊥平面AA1B1B.又CD⊂平面CA1D，∴平面CA1D⊥平面AA1B1B.又AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴AA1⊥CD.证明：(2)∵AC＝BC，D为AB的中点，∴在△ABC中，AB⊥CD.例2.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，△PAB为正三角形，且面PAB⊥面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，且AD∥BC，∠BCD＝π4，AD＝1，BC＝2，E为棱PC的中点．(1)求证：DE∥平面PAB；(2)求证：平面PAB⊥平面PBC；分析：(1)证明线面平行只需在平面内找一条和该直线平行的直线即可，也可转化为经过这条直线的平面和已知平面平行；(2)证明面面垂直，只需在一个平面内找到另一个平面的垂线.(1)证明如图所示，取线段BC的中点F，连接EF、FD.在△PBC中，E、F分别为PC、CB的中点，∴EF∥PB.在直角梯形ABCD中，F为CB的中点，∴BF＝12BC＝1.又∵AD∥BC，且AD＝1，∴AD//BF.∴四边形ABFD是平行四边形，∴FD∥AB.又∵EF∩FD＝F，PB∩BA＝B，∴平面EFD∥平面PAB.又∵DE⊂平面EFD，∴DE∥平面PAB.F构造平面法(1)证明如图所示，取线段PB的中点H，连接EH、ＡＨ.在△PBC中，E、Ｈ和分别为PC、PB的中点，∴EH//BC.在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，且AD＝1，BC＝２∴AD//12BC.∴AD//EH.∴四边形ABFD是平行四边形，∴ＥD∥AH.又∵ＡＨ⊂平面PAB，且ＥD平面PAB∴DE∥平面PAB.H构造平行四边行法(2)证明在直角梯形中，CB⊥AB，又∵平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD＝AB，∴CB⊥平面PAB.∵CB⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB.1．线线、线面、面面的平行与垂直的关系可以通过下列形式转化．在证明平行或垂直的问题中，认真体会“转化”这一数学思想方法．不仅要领悟“平行”“垂直”内部间的转化，还要注意平行与垂直之间的转化关系．2．弄清各类问题的关键点，把握问题的层次，重视容易忽视的问题，如证平行时，由于过分强调线线、线面、面面平行的转化，而忽视由垂直关系证平行关系；证垂直时，同样忽视由平行关系来证明和利用勾股定理计算证明．