无界函数广义积分

第2节无界函数的反常积分我们知道，在[,]ab上可积的函数都在[,]ab上有界。下面我们考虑如果()fx在某点[,]cab的附近无界，该怎么积分()bafxdx？如果()fx在c的任意邻域内都无界，则c称为()fx的瑕点（反常点）。分别如下3种情况。（1）设()fx在[,]ab上只有唯一的瑕点b；又设[,)tab，()fx在[,]at上都可积。考虑极限0()lim()()[]bbaafxdxfxdxAAfxab不存在，则称反常积分发散（不存在）；存在，则称为在,上的反常积分，记为0()lim()bbaafxdxAfxdx此时称()bafxdx收敛。（先把积分区间缩小一点点。）如果在[,)ab上()Fx是()fx的随便一个原函数，则()lim()()()bbaabfxdxFFaFx（记住：b是怎样代进去的？）（2）设()fx在[,]ab上只有唯一的瑕点a；又设(,]tab，()fx在[,]tb上都可积。考虑极限0()lim()()[]bbaafxdxfxdxAAfxab不存在，则称反常积分发散（不存在）；存在，则称为在,上的反常积分，记为0()lim()bbaafxdxAfxdx此时称()bafxdx收敛。（先把积分区间缩小一点点。）如果在(,]ab上()Fx是()fx的随便一个原函数，则()()lim()()bbaaafxdxFaFFx（记住：a是怎样代进去的？）（3）设()fx在[,]ab上只有全部的瑕点是12mxxx。取11221mmxcxccx，记02,21,,(11),2jmkjxkjdadbdjmckj。如果每一个1()(021)iiddfxdxim都独立地．．．存在，则称反常积分()bafxdx收敛，此时1210()()iimbdadifxdxfxdx否则称()bafxdx发散。关于（3）的解析：从（1）和（2）我们懂得了只有一个端点是瑕点的反常积分。对于有限个瑕点的反常积分，我们插进一些分点，把积分变成若干个独立的．．．只有一个端点是瑕点的反常积分的和。根据可加性，插进的这些分点是随意的。资料个人收集整理，勿做商业用途【例2.1】计算积分1211d1xx--ò．解、全部瑕点：1,1。1010110222110111arcsinarcsin22111dxdxdxxxxxx（记住：1,1是怎样代进去的？）5/6【例2.2】计算积分3212ò2d||xxx-．解、全部瑕点：1。33311222111222211222232111221222210122120111111111142241111212111121211arcsinln1ln232xtdxdxdxdxdxxxxxxxxxdxdxdtdtttxxttt【例2.3】证明：广义积分101dpxxò当1p时收敛，当1p³时发散．证、（1）设1p。11100011lnpdxdxxxx发散。（2）设1p。11100111ppdxxxp发散。（2）设1p。1110011111ppdxxxpp收敛。1011111pppdxxp收敛，发散，【例2.4】讨论积分1211dxx-ò的敛散性．解、011012221101011111dxdxdxxxxxx发散，因为两个积分都发散。（在11211112dxxx中，错误在哪里？）习题6－2A类1．当k为何值时，广义积分d()bkaxxa-ò(ba)收敛？又k为何值时，这广义积分发散？*2．证明：设函数f的瑕点为xa=，f在(,]ab的任一内闭区间[,]ub上可积，则当()dbafxxò收敛时，()dbafxxò也必收敛，并有()d()dbbaafxxfxx£蝌．*3．证明：设定义在[,]ab上的两个函数f与g，瑕点同为,xa=在任何[,][,]ubabÌ上都可积，若()0gx，且()lim()xafxcgx-®=，则有：(1)当0c+?时，()dbafxxò与()dbagxxò同时收敛．(2)当0c=时，由()dbagxxò收敛可推知()dbafxxò也收敛．(3)当c=+?时，由()dbagxxò发散可推知()dbafxxò也发散．4．讨论下列广义积分的收敛性：(1)220d(2)xx-ò(2)3/20sindxxxpò(3)10dlnxxxò*(4)10lnd1xxx-ò*(5)130arctand1xxx-ò．5．下列积分是否收敛?若收敛求其值（其中n为正整数）：*(1)()0lndnnxxò(2)10d1nxxx-ò(3)120cotdxxò*(4)0daxax-ò．*6．证明不等式:(1)20111(1)ed12e2exx+?--+ò；(2)140d2221xxpp-ò．B类1．讨论下列广义积分的收敛性：7/6*(1)1302sindxxxò(2)1203d(1)xxx-ò(3)2220dsincosxxxpò*(4)10|ln|dpxxò*(5)20lnsindxxxpò．2．下列积分是否收敛?若收敛求其值（其中n为正整数）：*(1)10d1xxx-ò(2)101d(1)xxx-ò*(3)101d(2)1xxx--ò．*3．证明瑕积分/20ln(sin)dJxxp=ò收敛，且ln22Jp=-．（提示：利用/2/200ln(sin)dln(cos)dxxxxpp=蝌，并将它们相加）*4．利用上题结果，证明：(1)20ln(sin)dln22ppqqq=-ò(2)0sind2ln21cospqqqpq=-ò．总习题六1．判别下列各广义积分的收敛性，如果收敛，则计算广义积分的值：(1)2201(1)dxx+?+ò(2)120arcsind1xxx-ò．2．讨论下列积分的收敛性：*(1)111ln(cossin)dxxx+?+ò*(2)2201sinxdxxx+?+ò(3)122201d(1)(1)xxkx--ò2(1)k(4)1011sindaxxxò．3．判别下列积分的敛散性，若收敛指出是绝对收敛还是条件收敛：(1)1cosdpxxx+?ò*(2)2lnlnsindlnxxxx+?ò．4.讨论反常积分0sind,xyxxll+?ò取何值时绝对收敛与条件收敛．5.举例说明：()dbafxxò收敛时，2()dbafxxò不一定收敛．*6.证明下列等式：(1)1101dd,011ppxxxxpxx--+?=++蝌．(2)100dd,0111ppxxxxpxx--+??=++蝌．7.证明：设f在[0+?，）上连续，0ab，(1)若lim()xfxk??=，则0()()d((0))lnfaxfbxbxfkxa+?-=-ò．(2)若0()fxdxx+?ò收敛，则0()()d(0)lnfaxfbxbxfxa+?-=ò．*8.证明下述命题：(1)设f为[,)a+?上的非负连续函数，若()daxfxx+?ò收敛，则()dafxx+?ò也收敛．(2)设f为[,)a+?上连续可微函数，且当x??时，()fx递减趋于零时，则()dafxx+?ò收敛的充要条件为()daxfxx+?¢ò收敛．9．设()fx与()gx在[,]a+?上有连续导数，且()0fx¢³，又当x??时，()0fx®，而()gx在[,]a+?上有界，证明：()()dafxgxx+?¢ò收敛．*10．设()fx¢在[0,1]上连续，且()0fx¢³，试证广义积分10()(0)dafxfxx-ò，当2ax时收敛，当2x时发散．