广义积分

§4广义积分【目的要求】1、理解无穷型和无界型广义积分的概念；2、熟练掌握广义积分的求法；3、了解Γ函数的概念与性质．【重点难点】1、无穷型和无界型广义积分的定义；2、无穷型和无界型广义积分的求法．【教学内容】前面我们讲的定积分()dbafxx是在下述条件下讨论的：(1)积分区间,ab有限；(2)被积分函数()fx在,ab上有界.然而，在实际问题中，常会遇到积分区间为无穷区间或者被积函数在有限积分区间上为无界函数的积分.因此，有必要将定积分加以推广，引入广义积分的概念.一、无穷限的广义积分定义4.1设函数()fx在区间[,)a上连续，取ua，如果极限lim()duaufxxJ存在，则此极限J为函数()fx在[,)a上的广义积分或反常积分.记作()dlim()duaauJfxxfxx.此时，我们称广义积分()dafxx存在或收敛；如果上述极限不存在，称()dafxx发散.类似地，可定义函数()fx在,b上的广义积分为：()dlim()dbbuufxxfxx.如果上述极限存在，则称广义积分()dbfxx收敛；否则称为发散.也可定义函数()fx在,上的广义积分.称()dfxx为收敛的，当且仅当广义积分()dcfxx与()dcfxx均收敛，且()d()d()dccfxxfxxfxx（c为实数）.当()dcfxx与()dcfxx中至少有一个发散时，则称广义积分()dfxx为发散的.例1设p为常数，试讨论11dpxx的敛散性.解当1p时，11111dlimdlimlnlimlnln1uuuuuxxxuxx（不存在）.所以，11dxx是发散的.当1p时，1111111dlimdlim1upuppuuxxxxxp=111lim11puupp因为10p，即1p，1limpuu.而10p，即1p时，1lim0puu.所以，当1p时，11dpxx，即11dpxx是发散的.1p时，111d1pxxp，即11dpxx是收敛的.综上所述：当1p时，广义积分11dpxx发散；当1p时，广义积分11dpxx收敛，且其值为11p.由无穷区间广义积分的定义，可知无穷区间广义积分的计算是一般在计算定积分()dbafxx之后再求极限.若极限存在，则收敛；若极限不存在，则发散.另外，为了书写方便，在具体计算中，可以将无穷区间上的广义积分的积分限看作或，即()d()()()lim()()aaxfxxFxFFaFxFa，()d()()()()lim()bbxfxxFxFbFFbFx，其中，()Fx为()fx的一个原函数.例2计算201d1xx.解201darctanlimarctanarctan0012xxxxx.例3计算0dxxex.解0000dd(d)xxxxxexxexeex=0lim0lim11xxxxxxeexe.例4计算22arctand1xxx.解22202220arctanarctanarctanddd111xxxxxxxxx.而203032arctan11darctan0()133224xxxx，233020arctan11darctan()0133224xxxx，故22arctand1242412xxx.二、无界函数的广义积分定义4.2设函数()fx在区间(,]ab上连续，而lim()xafx，任取0，如果极限0lim()dbafxxJ存在，则此极限J为函数()fx在,ab上的广义积分，记作()dbafxx，即()dbafxx=0lim()dbafxxJ.此时，我们称广义积分()dbafxx收敛；如果上述极限不存在，则称广义积分()dbafxx发散.类似地，对于函数()fx在,ab上连续，而lim()xbfx的广义积分为：0()dlim()dbbaafxxfxx.如果上述极限存在，则称广义积分()dbafxx收敛；否则称为发散.对于函数()fx在区间[,]ab上除xc，acb外均连续，而lim()xcfx的广义积分()dbafxx为收敛，当且仅当广义积分()dcafxx与()dbcfxx均收敛，且()d()d()dbcbaacfxxfxxfxx.当()dcafxx与()dbcfxx中至少有一个发散时，则称广义积分()dbafxx为发散的.例5计算广义积分321d2xx.解函数1()2fxx在区间2,3上连续，而21lim2xx，任取0，3322011dlimd22xxxx320lim22x0lim2322.即广义积分321d2xx收敛于2.例6计算广义积分10lndxx.解函数()lnfxx在区间0,1内连续，而0limlnxx，任取0，11000lndlimlndxxxx10lim(ln)xxx0ln11limln，其中0limln0所以10lnd1xx.例7证明广义积分d()bqaxxa当01q时收敛；当1q时发散.证当1q时，ddln()()()bbbaqaaxxxaxaxaln()limln()xabaxa.当1q时，11(),01,d()1()1,1.qqbbaqabaqxxaqxaqq因此，当01q时，此广义积分收敛，其值是1()1qbaq；当1q时发散.例8考察131dxx.解被积函数在区间1,00,1内连续，0x处为无穷间断点.利用定义101333110dddxxxxxx，其中_03321100dd111limlim()22xxxx，所以031dxx发散，同理130dxx也发散.因此广义积分131dxx发散.注意：如果不注意到031dxx的被积函数在0x处为无穷间断点，会发生如下错误：131d0xx.三、函数定义4.3广义积分10dxxex(0)，作为参变量的函数，称为函数，记为()，即10()dxxex.可以证明0时，()收敛.-函数是概率论中一个重要函数，并有下列性质：性质1(1)1.性质2(1)().性质3n为自然数，(1)!nn.性质41()2.下面我们证明之.证显然，0(1)d1xex.由分部积分公式0000(1)dd()(d)xxxxxexxexeex=100dxxxeeaxx=100dxxxeexx，利用洛必达法则，可得0lim00xxxxexe，所以10(1)d()xxex.当为自然数时，性质3成立.性质4将在后面章节中证明.例8计算下列积分：(1)20dxex；(2)20dxxex.解(1)利用1()2，即120dxxex.令12tx，则2xt，d2dxtt.得2102dttett，即202dtet，从而20dxex2.(2)令2tx，则2tx，dd2tx.于是2000d223dd()22442xttttxexetet2111()242216.