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福建省三明市大田县2017-2018学年九年级上期末模拟数学试卷一、单选题（共10题；共30分）1.在一个不透明的袋子中，装有红球、黄球、篮球、白球各1个，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机取出一个球，取出红球的概率为（）A.B.C.D.12.如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠C的度数为()A.116°B.58°C.42°D.32°3.如图，把边长为3的正三角形绕着它的中心旋转80°后，则新图形与原图形重叠部分的面积为()A.B.C.D.4.已知函数y=，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（）A.0B.1C.2D.35.已知一个函数图象经过（1，﹣4），（2，﹣2）两点，在自变量x的某个取值范围内，都有函数值y随x的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（）A.正比例函数B.一次函数C.反比例函数D.二次函数6.在一个不透明的袋子中装有5个除颜色外完全相同的小球，其中黄球2个，红球1个，白球2个，“从中任意摸出3个球，它们的颜色相同”，这一事件是（）A.必然事件B.不可能事件C.随机事件D.确定事件7.已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）=0有实数根，则m的取值范围是（）A.m＞1B.m＜1C.m≥1D.m≤18.在一个暗箱里放有a个除颜色外其他完全相同的球，这a个球中红球有4个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25，那么可以推算出a大约是（）A.3B.4C.12D.169.已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第二象限，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.无法判断10.⊙O的内接正三角形的边长等于3，则⊙O的面积等于（）A.27πB.πC.9πD.π二、填空题（共8题；共24分）11.判断下面的说法：如果一件事发生的可能性为百万分之一，那么它就不可能发生________（填“正确”或“错误”）12.如图，依次以三角形、四边形、…、n边形的各顶点为圆心画半径为1的圆，且圆与圆之间两两不相交．把三角形与各圆重叠部分面积之和记为S3，四边形与各圆重叠部分面积之和记为S4，…．n边形与各圆重叠部分面积之和记为Sn．则S2017的值为________．（结果保留π）13.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的大小是________．14.二次函数y=x2+4x+5（﹣3≤x≤0）的最大值和最小值分别是________．15.将抛物线y=（x+1）2向下平移2个单位，得到新抛物线的函数解析式是________16.如图，⊙O的半径OA⊥弦BC，且∠AOB=60°，D是⊙O上另一点，AD与BC相交于点E，若DC=DE，则正确结论的序号是________（多填或错填得0分，少填酌情给分）．①弧AB=弧AC；②∠ACD=105°；③ABBE；④△AEC∽△ACD．17.如图，已知正方形ABCD的顶点A、B在⊙O上，顶点C、D在⊙O内，将正方形ABCD绕点逆时针旋转，使点D落在⊙O上．若正方形ABCD的边长和⊙O的半径均为6cm，则点D运动的路径长为________cm．18.把△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得到△AB′C′，即如图，∠BAB′=θ，===n，我们将这种变换记为[θ，n]．△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB′C′为平行四边形，那么θ=________，n=________．三、解答题（共6题；共36分）19.解方程组．20.在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y=x﹣1交于点A，点A关于直线x=1的对称点为B，抛物线C1：y=x2+bx+c经过点A，B．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；（3）若抛物线C2：y=ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．21.如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，点F在AB的延长线上，且∠BCF＝∠A．（1）求证：直线CF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，DB＝4.求sin∠D的值．22.如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+4与y轴交于点A，与x轴交于点B、C（点B在点C左侧），且OA=OC=4OB．（1）求a，b的值；（2）连接AB、AC，点P是抛物线上第一象限内一动点，且点P位于对称轴右侧，过点P作PD⊥AC于点E，分别交x、y轴于点D、H，过点P作PG∥AB交AC于点F，交x轴于点G，设P（x，y），线段DG的长为d，求d与x之间的函数关系（不要求写出自变量x的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当时，连接AP并延长至点M，连接HM交AC于点S，点R是抛物线上一动点，当△ARS为等腰直角三角形时．求点R的坐标和线段AM的长．23.阅读下面的材料，回答问题：解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0①，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2=1，∴x=±1；当y=4时，x2=4，∴x=±2；∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用什么法达到降次的目的，体现了数学的转化思想．（2）解方程：（x2+3x）2+5（x2+3x）﹣6=0．24.小东在学习了=后，认为=也成立，因此他认为一个化简过程：是正确的．你认为他的化简对吗？说说理由．四、综合题（共10分）25.如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度．参考答案一、单选题1.C2.D3.A4.D5.D6.B7.C8.D9.B10.C二、填空题11.错误12.1007.5π13.105°14.5，115.y=（x+1）2﹣216.①、②、④17.π18.72°；三、解答题19.解：将两式联立消去x得：9（y+2）2﹣4y2=36，即5y2+36y=0，解得：y=0或﹣，当y=0时，x=2，y=﹣时，x=﹣；原方程组的解为或．20.解：（1）当y=2时，则2=x﹣1，解得：x=3，∴A（3，2），∵点A关于直线x=1的对称点为B，∴B（﹣1，2）．（2）把（3，2），（﹣2，2）代入抛物线C1：y=x2+bx+c得：解得：∴y=x2﹣2x﹣1．顶点坐标为（1，﹣2）．（3）如图，当C2过A点，B点时为临界，代入A（3，2）则9a=2，解得：a=，代入B（﹣1，2），则a（﹣1）2=2，解得：a=2，∴a2．21.解：（1）连接OC，∵OA=OC，∴∠ACO=∠A，又∵∠FCB=∠A∴∠ACO=∠FCB，又∵AB是⊙O的直径∴∠ACO+∠OCB=90°，∠FCB+∠OCB=90°∴直线CF为⊙O的切线，（2）∵AB是⊙O直径∴∠ACB=90°∵DC⊥AB∴BC=BD∴BC=BD，∠A=∠D∴22.解：（1）y=ax2+bx+4，当x=0时，y=4，∴A（0，4）∵OC=OA=4OB，∴OC=4，OB=1，∴C（4，0），B（﹣1，0）将C（4，0），B（﹣1，0）代入抛物线y=ax2+bx+4得：，解得：∴a=﹣1b=3．（2）如图1，作PK⊥x轴于点K．∵a=﹣1b=3．∴抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4．设点P的坐标为（x，y）∵OA=OC，∠AOC=90°，∴∠ACO=45°，∵AC⊥PD，∴∠EDC=45°，∵PK⊥x轴，∴△PDK为等腰直角三角形，∴PK=DK=y，∵AB∥PG，∴∠ABO=∠PGK，∵tan∠ABO==4，∴tan∠PGK==4∴GK=PK=y∴d=DK﹣GK=y﹣y=y，将y=﹣x2+3x+4代入得：d=（﹣x2+3x+4）=-．（3）如图2所示：过点P作PK⊥x轴，垂足为K，PK交于AC与N．∵∴．设点P的坐标为（x，y）．∵CK=NK=4﹣x∴PN=y﹣4+x∴PE=PN=(y-4+x)，PD=PK=y∴，．将y=﹣x2+3x+4代入得：．整理得：x2﹣7x+12=0．解得：x1=3，x2=4（舍去）．∴P（3，4）∵DK=PK=4，∴D（﹣1，0）．∴点D、B重合．∵△BOH为等腰直角三角形，∴OH=OB=1．∴AH=3．如图3所示：∠RAS=90°时．设点R（a，﹣a2+3a+4）∵△ARS为等腰直角三角形∴∠RAS=90°，∠ARS=45°∵AP∥x轴∴∠PAC=∠ACO=45°．∴∠RAP=45°．∴RS⊥AM．∴AL=LS，AL=LR．∴a=﹣a2+3a+4﹣4．∴a=2．∴R（2，6）．在Rt△LMS中tan∠M=，在Rt△AHM中tan∠M=∴=．∴∴LM=4∴AM=6．当∠ARS=90°和∠ASR=90°时，△ARS不能构成等腰直角三角形．综上所述，AM的长为6．23.解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．故答案是：换元；（2）设x2+3x=y，原方程可化为y2+5y﹣6=0，解得y1=1，y2=﹣6．由x2+3x=1，得x1=，x2=．由x2+3x=﹣6，得方程x2+3x+6=0，△=9﹣4×6=﹣15＜0，此方程无解．所以原方程的解为x1=x1=，x2=．24.解：错误，原因是被开方数应该为非负数．====2．四、综合题25.（1）证明：连接OC，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∵AC平分∠PAE，∴∠DAC=∠CAO，∴∠DAC=∠OCA，∴PB∥OC，∵CD⊥PA，∴CD⊥OC，CO为⊙O半径，∴CD为⊙O的切线（2）解：过O作OF⊥AB，垂足为F，∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，∴四边形DCOF为矩形，∴OC=FD，OF=CD．∵DC+DA=6，设AD=x，则OF=CD=6﹣x，∵⊙O的直径为10，∴DF=OC=5，∴AF=5﹣x，在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2=OA2．即（5﹣x）2+（6﹣x）2=25，化简得x2﹣11x+18=0，解得x1=2，x2=9．∵CD=6﹣x大于0，故x=9舍去，∴x=2，从而AD=2，AF=5﹣2=3，∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，∴AB=2AF=6．