复杂网络上疾病传播与免疫及动力学

复杂网络的传播机理与动力学分析张玉林2010.11.28♦复杂网络中疾病传播与免疫复杂网络的传播临界值理论复杂网络的免疫策略与技术主要内容:1.疾病传播的基本知识2.SIS和SIR传播模型3.均匀网络中的SIS模型,WS模型为例进行解析4.无标度网络中的SIS模型,BA模型为例进行解析复杂网络的传播临界值理论1.疾病传播I.传染病：数理学家在研究传播行为时，往往并不区别研究对象，他们把可以在网络中传播开来的东西叫做传染病。II.在传播过程中，个体处于三个基本状态：(1)S(susceptible)—易感状态：不会传染他人，可能被传染（也就是健康状态）(2)I(infected)—感染状态：已患病，具有传染性(3)R(removed)—免疫状态：被治愈，具有免疫能力，不具有传染能力，不会再次被感染（移除状态）Ⅲ.传染病模型科学家通过用基本状态之间的相互转换来建立不同的传播模型：SIS模型：易染个体被感染后，可以被治愈但无免疫力（还可以再被感染）（感冒等）SIR模型：易染个体被感染后，可以被治愈且有免疫力（不会被感染，也不会感染其它节点，相当于已经从传播网络中被清除了）（天花等）SI模型：易染个体被感染后，不能被治愈（艾滋病等）SIRS模型：易染个体被感染后，可以被治愈且有免疫力，但免疫期是有限的，还会再次回到易染状态。（乙肝？）疾病传播模型的描述Ⅰ.模型的传播规则：①初始时随机选择网络中一个或若干节点为染病节点（I），其余为健康节点（S）②在每一个时间步t：如果一个健康节点具有染病邻居，则它依某个事先设定的概率变成染病节点，这一概率叫做染病概率（β）；同时每一个染病节点都依某个事先设定的痊愈概率（γ）变成健康节点。③在每个时间步，这些演化规则在整个网络中被并行地执行。染病概率越大，痊愈概率越小，疾病就越有可能感染更多的人，因此，定义染病概率和痊愈概率的比值为有效传播率并用这个参数综合地衡量疾病自身特征。①感染密度（感染水平或者波及范围）ρ(t)ρ(t)：传播过程中,感染节点总数占总节点数的比例。ρ：传播到稳态时（）感染密度的值,称为稳态感染密度。②有效传播率λ(=/)λ非常小（很小，很大），传播达稳态时，所有节点都会变成健康节点，这种情况下就认为疾病没有在网络上传播开来，并记该疾病的稳态感染密度ρ=0。反之，当λ足够大时，疾病将一直在网络中存在而不会完全消失，只是染病节点的数目有时多有时少，这时稳态感染水平（波及范围）ρ0。把稳态感染密度从零向正实数变化的那个点所对应的有效传播率称作传播阈值（临界值）λc。它是衡量网络上的传播行为最重要的参量之一。Ⅱ.传播模型研究的主要参量tSIS模型传播方程设s,i分别表示群体中S,I个体所占的比例，则SIS传播的微分方程组为：SIR模型传播方程设s,i,r分别表示群体中S,I,R个体所占的比例，则疾病传播的动力微分方程组为：注:(1)传播网络是完全图，但实际网络中，只有接触才能被感染(2)并不是对每个节点都一致，而是服从分布，Newman对其进行了研究。Ⅲ.模型传播动力学方程,iisdtdsiisdtdidsisdt,diisridtdrridt,jiPP,3.均匀网络中的SIS模型Ⅰ.均匀网络：Ⅱ.解析模型三个假设：①均匀混合假设：感染强度和感染个体密度成比例。即：和为常数（均匀混合）。不失一般性，可假设=1，因为这只影响疾病传播的时间尺度；②均匀性假设：均匀网络中，每个节点的度都等于网络的平均度k；③规模不变假设：假设病毒的时间尺度远小于个体的生命周期，即不考虑个体的出生和自然死亡,t运用平均场的方法可得：被感染个体密度ρ(t)的变化率被感染节点以单位速率恢复健康单个感染节点产生的新感染节点的平均密度，它与有效传播率、节点的平均度〈k〉，健康节点相连概率1-ρ(t)成比例，（其他的高阶校正项忽略了）。ttkttt1当传播达到稳态时，变化率为0，所以令上式右端为0；即：-ρ+kρ[1-ρ]=0ρ（1-λk+λkρ）=0；ρ（ρ-）=0；当λ时，ρ-必大于0，所以ρ=0；当λ时，ρ=；所以，即为临界传播值，记=。c1k1k1k1k1k1k1k01ttkttt结论：在均匀网络中存在一个有限的正的传播临界值λc。如果有效传播率λλc，则病毒可以在网络中传播开来，并最终稳定于,此时称网络处于激活相态；如果有效传播率λλc，病毒感染个体数呈指数衰减，无法大范围传播，最终将不能传播,此时网络称为吸收相态。cc14.无标度网络中的疾病传播Ⅰ.无标度网络：具有幂律度分布的网络，即：；网络中节点的度没有明显的特征长度Ⅱ.解析模型无标度网络的度分布是呈幂律分布，因而度具有很大的波动性，定义一个相对感染密度：度数为k的感染节点数占总节点数的比例。当t趋于无穷大时，相对稳态感染密度记为。平均感染密度：稳态平均感染密度：()ktk()=()()kktPkt=()kkPkkPk∝同样我们能采用MF理论来求的变化率得:度为k的节点相对感染密度的变化方程为：被感染个体以单位速率恢复健康：任意一条给定的边与一个被感染节点相连的概率单个感染节点产生的新感染节点的密度()ktttktttkkk1t根据稳态条件，可得：传播达稳态时，记为:给定一条边，这条边指向一个已感染节点的概率此概率值不依赖于出发点的度，而仅于有关；并且趋于稳态时，又是λ的函数，因此趋于稳态时可以表示为。节点的度越高，被感染的概率越高(())t()t(())t()[1]()0;()1()kkkkkk0ttktk111下面我们计算：给定端点的一条边，其另一个端点为染病节点的概率时，必须考虑到网络的非均匀性。任意一条给定边指向度为k的节点的概率为（与度为k节点关联的边数与总边数的比值）则任意一条给定边指向度为k的感染节点的概率为从而，（将的值代入）()()skPsPs（k）()kskPsPs（k）()()kkkkskPkPsPsk（k）（k）1kkkPkk（k）1+k0221[()|]1kkkkPkdkkPkdkkkPkkk（k）（k）1+（k）回忆：传播临界值必须满足的条件：当时，可以得到的一个零解。当时，可以得到的一个非零解。有一个平凡解如果该方程要存在一个非零稳定解，需要满足如下条件：即有：cc0001()|1kdkkPdkk（k）1+2kkcc结论：对于SF（无标度）网络，节点度数具有很大的浮动性，当,导致，从而特别地，作为SF网络的一个典型例子，考虑BA无标度网络。2kN0cBA无标度网络的传播临界值BA无标度网络：(1)增长特性，(2)优先连接特性（富者更富，或马太效应）度分布，平均度其中m是网络最小度将平均度，度分布，以及带入，可得：,2dmkkkPkm322kmkPkkkkPk1mk2322kmkPkkk12321()211().kkkmkkkkkkPkkmmkk1+（k）1+1+11111..mkdkmkkkk1+1+111()()lnmmdkkkm1+1/1mmem1/1mmem1/()1mmem1/1/1/11/1/111()(1)11mmmmmeeememem又因为1/1/1()(1)mmeem将代入上式中mmmkdkkkkmkkkmkkkkmkPmmmmkk11ln12111d21d21d22222232化简后得：当λ=0时，有当λ0时，有结论：BA无标度网络在SIS模型下的只要有效传播率λ0，病毒就能传播开来，并将达到一个稳定感染水平，这反映了无标度网络对抵抗病毒的脆弱性0;0;c1/1/1/1/1/2111lnmmmmmeeeee（1-）0BA网络中，疾病传播的时间演化N=106，从下至上λ从0.05到0.065WS网络与BA网络的比较总结1.SIS模型在均匀网络中，存在一个传播临界值。当时，疾病在时间演化过程中逐渐衰减，最终被灭；当时，疾病在时间演化过程中传播开来，并稳定于某一值（稳态感染密度）：2.SIS模型在SF网络中，传播临界值：只要有效传播率λ0，病毒就能传播开来，并将达到一稳定感染水平值：，这反映了无标度网络对抵抗病毒的脆弱性。cc~c10ck20ckk~exp(1/)m复杂网络的传播临界值理论复杂网络的免疫策略与技术报告内容主要内容1.随机免疫与集中接种2.目标免疫与优先免疫3.熟人免疫与环状接种免疫策略与技术随机免疫与集中接种：将所有可能感染的种群集中起来，按照某种概率随机选择种群中的个体进行接种。（度大节点和度小节点是平等对待）1992年，Anderson和May《人类传染病》，OxfordUniversityPressSIS传播方式说明随机免疫1.随机免疫（均匀免疫）引入免疫参数g：初始网络中免疫节点数占节点总数的比例在平均场理论下可以通系数（1-g）来影响有效传播率λ，即用（1-g）λ来替换λ代入前面的ρ变换率方程中（均匀网络，WS）（SF网络，BA）tkgttt11tkgtttkkk11Ⅰ．均匀网络（以WS为例）令上式为0，得：(1(t)=-(t)+k(t)[1-(t)];)tg(1)()0;(1)cgg0;(1);(1)cggccgg1ccgg1即：我们需要的免役临界值．显然，才有意义。情况下，如果不加免疫，疾病将传播开来，并稳定于某一ρ值(ρ≠0)；如果加免疫后，只要免疫值满足：疾病将不能传播开来，即达到稳态时，ρ＝0。ccgccgcgcggⅡ.SF网络（以BA为例）SF网络的免疫临界值可由公式给出，即：2ckk2(1)ckgk2111ckgk2k结论：在均匀网络中：只要，就可保证疾病不在网络中传播开来；SF网络中：免疫临界值约为１，即任给定一λ值，都需要对网络中的所有个体进行免疫才能使疾病不传播开来。说明随机免疫只对均匀网络有效（有较小的),而对SF网络效果很差（=1）。原因：这是由于SF网络是异质网络，节点度呈两极分化，采用随机免疫，哪些最容易传播病毒的节点（度大的节点）不一定获得免疫。所以，如果对SF网络采取随机免疫的策略，需要对网络中几乎所有的节点都实施免疫才能保证最终消灭病毒传染。因此对SF网络这样的异质网络，普遍认为：随机免疫策略对于无标度网络是无效的！cgcgccg目标免疫：选取少量度最大的节点进行免疫。（而一旦这些节点被免疫后，就意味着他们所连的边可以从网络中去除，使得病毒传播的可