广义积分教案

2010成考高等数学主讲教师：顾伟超一元函数积分学第页共37页30第三章一元函数积分学三、广义积分无限区间上的积分：设)(xf在],[a上连续，取ab，则称dxxfbab)(lim为)(xf在],[a上的广义积分，记为：dxxfa)(dxxfbab)(lim若上述极限存在，则称广义积分dxxfa)(存在或收敛。否则称广义积分不存在或称发散。同理可定义广义积分：dxxfb)(dxxfbaa)(lim和dxxf)(dxxfc)(dxxfc)(若)(xF是)(xf的一个原函数记：)(lim)()(lim)(xFFxFFxx则广义积分可表示为：dxxfa)(|)(axF)()(aFFdxxfb)(|)(bxF)()(FbFdxxf)(|)(xF)()(FF例33－1、计算无穷积分：解：dxex0dxexbb0lim|0limbxbe1)10()(lim0eebb或直接利用公式：dxex01)1(0|0xe例33－2、计算广义积分：⑴、dxxex20dxxexbb20lim)](21[lim202xdxexbb|02lim21bxbe21)(lim2102eebb⑵、dxxx201dxxxbb201lim2201)1(lim21xxdbb|02)1ln(lim21bbx]1ln)1[ln(lim212bb⑶、dxxxe3)(ln1dxxxbeb3)(ln1lim)(ln)(ln1lim3xdxbeb2010成考高等数学主讲教师：顾伟超一元函数积分学第页共37页31|2)(lnlim21bebx])(ln)[(lnlim2122ebb21]10[21⑷、dxxx2212)1()1(112xdx|)1arctan(x)2(2⑸、dxx1122|2|11|ln21xx3ln2131ln210例33－3、判断无穷积分dxx11的收敛性解：dxx11dxxbb1lim1|1lnlimbbxbblnlim发散例33－4、判断无穷积分xdxsin0的收敛性解：xdxsin0blimxdxsin0|0coslimbbx)0cos(coslimbb)cos1(limbb因为)cos1(limbb不存在所以无穷积分xdxsin0发散例33－5、讨论无穷积分dxxpa1的收敛性（其中0a，0p）解：当1p时，dxxpa1blimdxxpa1|111limbapbxp)11(lim11papbppb若1p，则01p此积分收敛于pap11当1p，由上例（例3）可知此积分发散当1p时，则01P此积分发散)(所以dxxpa1时发散当时收敛当11)0(ppa特别要注意与dxxp110区别：2010成考高等数学主讲教师：顾伟超一元函数积分学第页共37页32时发散当时收敛当11110ppdxxp例：|1021011xdxx＝－发散例33－6、判断下列广义积分的敛散性：⑴、2arctan11|020xdxx收敛⑵、1|00xxedxe收敛⑶、|1121xdxx发散⑷、|00xxedxe发散⑸、|00cossinxxdx发散⑹、|02011xdxx发散