复变函数3---3-原函数与不定积分

原函数与不定积分回顾实函数的积分：牛顿-莱布尼兹公式设F为f的原函数，则()()()baftdtFbFa回顾实函数的积分：牛顿-莱布尼兹公式设F为f的原函数，则对于复变函数，期望有类似结果；对于什么样的复变函数能定义原函数？如何定义原函数？()()()baftdtFbFa考查牛顿-莱布尼兹公式的形式只和被积函数、起点、终点有关。()()()baftdtFbFa要求：起点和终点确定后，沿不同的路径积分结果相同原函数定义为0()()zzFzfd考查牛顿-莱布尼兹公式的形式只和被积函数、起点、终点有关。()()()baftdtFbFa定理：假设函数f在单连通区域D内连续；函数f的积分与路径无关；即沿D中任一围线积分为0。则函数F在D内解析，且()()Fzfz证明：由于不是具体的函数，Cauchy-Riemann条件用起来比较困难，直接利用定义证明。zz0z+z由于D是开集，设zD，并且可保证z+zD。考察F(z+z)-F(z)。由于积分和路径无关，设积分的积分路径从z0到z，再到z+z。于是zz0z+z0()()zzzFzzfd()()()zzzFzzFzfd因此，()()1()zzzFzzFzfdzz因此，进一步，再次利用积分与路径无关这一条件，取从z到z+z的积分路径为直线段。设，则该直线段的参数方程为()()1()zzzFzzFzfdzzizre0iztetr，将参数方程代进去，00()()1()1()()1()zzzriiiriFzzFzzfdzfztedterefztedtr将实部和虚部分离，先算实部0()()Re1(cossin)1(cossin)()Re()00rFzzFzzuxtytdtruxyrruxyfzr，，，再算虚部0()()Im1(cossin)1(cossin)()Im()00rFzzFzzvxtytdtrvxyrrvxyfzr，，，再将实部和虚部合并结论：F解析（因为处处可导）()()()(0)FzzFzfzzz()()Fzfz☺证明过程中为何不对下式用中值定理？0()()1()riFzzFzfztedtzr☺证明过程中为何不对下式用中值定理？0()()1()riFzzFzfztedtzr☺此时涉及到的是复变函数的积分☺实函数积分中值定理的证明过程中用到了实数的一个特性：可比较大小复变函数的积分中值定理不成立！分实部虚部取得的中值未必相等！☺对下式取极限时对不同的趋近极限的速度可能不一样，如何处理？(cossin)()uxyuxy，，☺对下式取极限时对不同的趋近极限的速度可能不一样，如何处理？☺由于函数cos和sin在±1之间，可放缩为再令r0（即z0）即得极限(cossin)()uxyuxy，，()uxryr，推论：假设函数f在区域D内解析；z0、zD；则函数在D内解析，并且0()()()()zzFzfdFzfz定义：若在区域D内有，则称为f的一个原函数。()()zfz定理：若函数f在单连通区域D内解析，z0D，则是f的所有原函数；若G是f的一个原函数，则0()()zzFzfdC00()()()zzfdGzGz定义：若在区域D内有，则称为f的一个原函数。()()zfz例1：计算积分。0cosizzdz例1：计算积分。0cosizzdz分析与解：f(z)=zcosz在复平面上解析，一个原函数(z)=zsinz+cosz，因此001cos(sincos)sincos11iizzdzzzziiie例1：计算积分。0cosizzdz原函数的求法：和实变函数一样cossinsinsinsincoszzdzzdzzzzdzzzzC例2：计算积分，其中积分路线是第一象限内圆弧|z|=1。1ln(1)1izdzz分析与解：函数ln(z+1)是沿着(-∞，-1]割开的解析单值分支，分母导致奇点-1例2：计算积分，其中积分路线是第一象限内圆弧|z|=1。1ln(1)1izdzz分析与解：函数ln(z+1)是沿着(-∞，-1]割开的解析单值分支，分母导致奇点-1例2：计算积分，其中积分路线是第一象限内圆弧|z|=1。1ln(1)1izdzz2ln(1)ln(1)ln(1)11ln(1)2zdzzdzzzC例2：计算积分，其中积分路线是第一象限内圆弧|z|=1。1ln(1)1izdzz2112222ln(1)1ln(1)121[ln(1)ln2]23ln2ln23288iizdzzzii遇到奇点（即分母为0），绕开即可多值函数，割开平面变为单值解析分支例2：计算积分，其中积分路线是第一象限内圆弧|z|=1。1ln(1)1izdzz例3：计算积分。32iziedz解：因此，2212zzedzeC3322102iizziiedze例3：计算积分。32iziedz例4：计算积分，路径为1到i的直线段。211tancosizdzz解：函数的奇点为(n+1/2)，原函数代入上下限即得。221tan(1tan)tancos1tantan2zdzzdzzzzC例4：计算积分，路径为1到i的直线段。211tancosizdzz例5：计算积分cosizezdz解：被积函数在复平面上解析，求原函数cossinsinsinsincoscoscoszzzzzzzzezdzedzezezdzezdzedzezezdz例5：计算积分cosizezdz由此可知原函数1cos(sincos)2zzzezdzezezC1cos(sincos)2......iizzzezdzezez例5：计算积分cosizezdz☺复变函数的观点：统一到指数函数(1)(1)(1)(1)1cos()21[]2111[]211zzizizizizizizezdzeeedzeedzeeCii例5：计算积分cosizezdz习题：P54T7（1，2，3）