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第2课时利用一元二次方程解决面积问题◆随堂检测1、长方形的长比宽多4cm，面积为60cm2，则它的周长为________．2、有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的长是第一块宽的3倍，宽比第一块的长少2米，已知第二块木板的面积比第一块大1082米，这两块木板的长和宽分别是（）A、第一块木板长18米，宽9米，第二块木板长27米，宽16米B、第一块木板长12米，宽6米，第二块木板长18米，宽10米C、第一块木板长9米，宽4.5m，第二块木板长13.5m，宽7米D、以上都不对3、从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，求原来的正方形铁片的面积是多少？4、如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．（点拨：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．）◆典例分析如图①，要设计一幅宽20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2∶3，BCAQP如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？解:◆课下作业●拓展提高1、矩形的周长为82，面积为1，则矩形的长和宽分别为________．2、如图，在ABCD中，AEBC于E，AEEBECa，且a是一元二次方程2230xx的根，则ABCD的周长为（）A、422B、1262C、222D、221262或3、某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏长40m．（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m2吗？（2）鸡场的面积能达到210m2吗？4、某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？(分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为xm.)20cm20cm30cmDCAB图②图①30cm分析:由横、竖彩条的宽度比为2∶3，可设每个横彩条的宽为2x，则每个竖彩条的宽为3x．为更好地寻找题目中的等量关系，通过平移可将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图②的情况，得到矩形ABCD．ADCECB●体验中考1、在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（）A、213014000xxB、2653500xxC、213014000xxD、2653500xx2、如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为（）A、1米B、1.5米C、2米D、2.5米3、张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元，问张大叔购回这张矩形铁皮共化了多少元？●挑战能力1.如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用木栏围成，木栏长35m。①鸡场的面积能达到150m吗？②鸡场的面积能达到180m吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。（3）若墙长为am,另三边用竹篱笆围成，题中的墙长度am对题目的解起着怎样的作用?2.将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm吗?若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.参考答案：◆随堂检测1、32cm.设长方形铁片的宽是xcm，则长是(4)xcm．根据题意，得：(4)60xx，解得，126,10xx.∵210x不合题意，舍去．∴6x.∴长方形铁片的长是10cm，宽是6cm，则它的周长为32cm.2、B.设第一块木板的宽是x米，则长是2x米，第二块木板的长是3x米，宽是2x（2）米．根据题意，得：3(22)2108xxxx整理，得：223540xx，因式分解得，(6)(29)0xx，解得，1296,2xx.∵292x不合题意，舍去．∴6x.∴第一块木板的宽是6米，则长是12米，第二块木板的长是18米，宽是10米．故选B.3、解：原来的正方形铁片的边长是xcm，则面积是2xcm2．根据题意，得：(2)48xx，整理，得：22480xx，因式分解得，(8)(6)0xx，解得，128,6xx.∵26x不合题意，舍去．∴8x.∴264x.答：原来的正方形铁片的面积是64cm2．4、解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．根据题意，得：12（8-x）（6-x）=12×12×8×6整理，得：214240xx，配方得，2(7)25x，解得，1212,2xx.∵112x不合题意，舍去．∴2x.答：2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．设每个横彩条的宽为2x，则每个竖彩条的宽为3x．∴206ABx，304ADx，∴矩形ABCD的面积为2(206)(304)24260600xxxx（cm2）.根据题意，得2124260600120303xx.整理，得2665500xx.解方程，得125106xx，,∵210x不合题意，舍去.∴56x.则552332xx，．答：每个横、竖彩条的宽度分别为53cm，52cm.◆课下作业●拓展提高1、227,227.设矩形的长x，则宽为42x．根据题意，得(42)1xx.整理，得24210xx.用公式法解方程，得1222227xx+7，,当长为122x+7时,则宽为227.当长为2227x时,则宽为122x+7,不合题意，舍去.∴矩形的长和宽分别为227和227.2、A.∵a是一元二次方程2230xx的根，∴1a，∴AE=EB=EC=1，∴AB=2，BC=2.∴ABCD的周长为422，故选A。3、解：（1）都能达到．设宽为xm，则长为（40-2x）m，依题意，得：x（40-2x）=180整理，得：x2-20x+90=0，x1=10+10，x2=10-10；同理x（40-2x）=200，x1=x2=10．（2）不能达到210m2．∵依题意，x（40-2x）=210，整理得，x2-20x+105=0，b2-4ac=400-410=-100，无解，即不能达到．4、解：（1）设渠深为xm，则上口宽为(x+2)m，渠底为(x+0.4)m.根据梯形的面积公式可得:12（x+2+x+0.4）x=1.6,整理，得：5x2+6x-8=0,解得：x1=45=0.8，x2=-2（舍）∴上口宽为2.8m，渠底为1.2m．（2）如果计划每天挖土48m3，需要1.675048=25(天)才能把这条渠道挖完.答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m；需要25天才能挖完渠道．5、解：（1）连结DF，则DF⊥BC.∵AB⊥BC，AB=BC=200海里．∴AC=2AB=2002海里，∠C=45°.∴CD=12AC=1002海里.DF=CF，2DF=CD.∴DF=CF=22CD=22×1002=100（海里）.∴小岛D和小岛F相距100海里．（2）设相遇时补给船航行了x海里，那么DE=x海里，AB+BE=2x海里.EF=AB+BC-（AB+BE）-CF=（300-2x）海里.在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程x2=1002+（300-2x）2整理，得3x2-1200x+100000=0.解这个方程，得：x1=200-10063,x2=200+10063.∵x2=200+10063不合题意，舍去.∴x=200-10063≈118.4.∴相遇时补给船大约航行了118.4海里．●体验中考1、B.依题意,x满足的方程是(502)(802)5400xx,整理得2653500xx.故选B.2、A.设修建的路宽应为x米．根据题意，得：(30)(20)551xx，整理，得：250490xx，因式分解得，(1)(49)0xx，解得，121,49xx.∵249x不合题意，舍去．∴1x.∴则修建的路宽应为1米.故选A.3、解：设此长方体箱子的底面宽是x米，则长是(2)x米．根据题意，得：(2)15xx，整理，得：22150xx，因式分解得，(3)(5)0xx，解得，123,5xx.∵25x不合题意，舍去．∴3x.∴此矩形铁皮的面积是(2)(22)5735xx（平方米），∴购回这张矩形铁皮共化了3520700（元）.答：张大叔购回这张矩形铁皮共化了700元.5、如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头：小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一般补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．（1）小岛D和小岛F相距多少海里?（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里?（结果精确到0.1海里）BACED(分析：（1）因为依题意可知△ABC是等腰直角三角形，△DFC也是等腰直角三角形，AC可求，CD就可求，因此由勾股定理便可求DF的长．（2）要求补给船航行的距离就是求DE的长度，DF已求，因此，只要在Rt△DEF中，由勾股定理即可求．)