线性二次型

线性二次型(LQ)最优控制问题线性二次型(LQ)最优控制问题线性二次型(LQ)最优控制问题线性二次型(LQ)最优控制问题包含的主要内容：线性二次型问题状态调节器输出调节器跟踪器线性二次型(LQ)最优控制问题线性二次型(LQ)最优控制问题线性二次型问题状态方程为线性二次型(LQ)最优控制问题线性二次型(LQ)最优控制问题性能指标的物理含义两个积分项相互制约，应折中处理线性二次型(LQ)最优控制问题加权矩阵的选取线性二次型(LQ)最优控制问题线性二次型的三种情形线性二次型(LQ)最优控制问题状态调节器—有限时间状态调节器011()()()[()()()()()()]22ftTTTfftJuxtFxtxtQtxtutRtutdt物理意义线性二次型(LQ)最优控制问题应用极小值原理求u(t)的表达式R(t)正定，保证其逆阵的存在规范方程组：1(3)TTxAxBRBAxSHQxAx写成矩阵形式：(4)TxASxQA其解为：000()()(,)(5)()()xtxttttt(1)(2)线性二次型(LQ)最优控制问题横截条件给出了终端时刻二者的关系：1[()()]2()()(6)()TfffffxtFxttFxtxt为了与（6）建立联系，将（5）写成向终端转移形式：11122122()()()(,)(7)()()()fffxtxtxtttttt11122122()()()(8)()()()(9)ffxtxtttxtt线性二次型(LQ)最优控制问题（9）-（8）*F可得21112212()()()()()()0(10)fftFxtFxtFt()()()(13)tPtxt()()12()txtut可见与是线性关系，（）代入表达式则有11()()()()()(14)TTutRBRBPtxtKtxt122121121()()()()(11)tFFxt122121121()()()(12)PtFF令线性二次型(LQ)最优控制问题最优线性反馈控制求解P(t),但直接利用式（12）求解，涉及矩阵求逆，运算量大线性二次型(LQ)最优控制问题应用性质求解P（t）（13）对时间求导()()()(13)tPtxt1(15)TTTxAxBRBAxSHQxAQxAPxx11[][](16)TTPxPxPxPAxBRBPxPPAPBRBPx（15）与（16）相等，可得1(17)TTPPAAPPBRBPQ边界条件：()()()(13)tPtxt()()(6)fftFxt()(18)fPtF线性二次型(LQ)最优控制问题最优性能指标为：*1[(),]()()()(19)2TTJxttxtPtxt黎卡提方程求解问题：（1）可以证明，P(t)为对称矩阵，只需求解n(n+1)/2个一阶微分方程组。（2）为非线性微分方程，大多数情况下只能通过计算机求出数值解。线性二次型(LQ)最优控制问题（1）根据系统要求和工程实际经验，选取加权矩阵F,Q,R（2）求解黎卡提微分方程，求得矩阵P(t)1()TTfPPAAPPBRBPQPtF（3）求反馈增益矩阵K(t)及最优控制u*(t)*1()()()()()TutKtxtRBPtxt（4）求解最优轨线x*(t)（5）计算性能指标最优值*1[(),]()()()2TTJxttxtPtxt状态调节器的设计步骤线性二次型(LQ)最优控制问题例线性二次型(LQ)最优控制问题利用MATLAB求解线性二次型(LQ)最优控制问题利用MATLAB求解线性二次型(LQ)最优控制问题线性二次型(LQ)最优控制问题线性二次型(LQ)最优控制问题性能指标中的参数的影响---r变化的影响线性二次型(LQ)最优控制问题性能指标中的参数的影响---tf变化的影响线性二次型(LQ)最优控制问题状态调节器—无限时间状态调节器设线性定常系统的状态方程为()()()(1)xtAxtBut假设控制向量不受约束，求最优控制，使系统的二次型性能指标取极小值。)(tu01()[()()()()](2)2TTtJuxtQxtutRutdttxtx终端时间初始条件,)(00无限时间问题终端时间,t说明：1）要求系统完全能控。2）F=0,人们所关心的总是系统在有限时间内的响应)(*tu线性二次型(LQ)最优控制问题最优轨线满足下列线性定常齐次方程：1()[]()[]()(5)TxtAxBRBPxtABKxt*0001[()]()()(6)2TTJxtxtPxt性能指标最优值*1()()()(3)TutKxtRBPxt可以证明：P为正定常数矩阵，满足下列黎卡提矩阵代数方程10(4)TTPAAPPBRBPQ可以证明：线性定常最优调节器组成的闭环反馈控制系统，是渐近稳定的。线性二次型(LQ)最优控制问题例已知二阶系统的状态方程为求使性能指标为极小值时的最优控制。解：化为标准矩阵形式正定）式中QbadttutaxtxtbxtxJ(0)]()()()(2)([21202222121)(10)(0010)(tutxtx二次型性能指标为：11100010RabbQBA验证系统能控性20110][RankABBRank线性二次型(LQ)最优控制问题展开整理得到三个代数方程020122212221211212appbppppP满足下列黎卡提矩阵代数方程：01QPBPBRPAPATT)()()()(]1,0[1)()(22212121222112111*txptxptxtxpppptPxBRtuT系统完全能控，且Q,R为正定对称矩阵，故最优控制存在且唯一解之bppppapp22121112221221线性二次型(LQ)最优控制问题利用矩阵P正定的性质1122221221122120020pppapppp则用反证法证明不是所求的根0,2221112212babapapp利用矩阵P正定的性质aaaaababaabappp212)1(2)1(0012)2(0222122211平方1*12pbppppapp22121112221221线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制为：02ba1*12p2112*abap)(2)()()(211*txatxtPxBRtuT与给定条件矛盾，故假设不成立线性二次型(LQ)最优控制问题最优状态调节器系统结构图线性二次型(LQ)最优控制问题线性二次型(LQ)最优控制问题线性二次型(LQ)最优控制问题输出调节器线性二次型(LQ)最优控制问题输出调节器---有限时间调节器设线性时变系统的状态方程为()()()()()(1)()()()(2)xtAtxtBtutytCtxt假设控制向量不受约束，求最优控制，使下列二次型性能指标最小。)(tu)(*tu011()()[()()()()()()](3)22ftTTTfftJytFytytQtytutRtutdt物理意义：以较小的控制能量为代价，使输出保持在零值附近。根据系统能观条件，输出调节器问题可转化为状态调节器问题系统完全可观测固定及终端时间,0ftt线性二次型(LQ)最优控制问题将（2）代入（3）011[](4)22fftTTTTTtttJxCFCxxCQCxuRudt','QF'Q可以证明，如果系统完全可观测，则是半正定的。','QF'F1()()()()()(5)TutRBPtxtKtxt1(6)()()()()TTTTffffPPAAPPBRBPCQCPtCtFtCt若是半正定的，则转化为状态调节器问题。最优控制为：线性二次型(LQ)最优控制问题有限时间最优输出调节器系统结构图线性二次型(LQ)最优控制问题输出调节器---无限时间调节器设线性定常系统的状态方程为()()()(1)()()(2)xtAxtButytCxt假设控制向量不受约束，求最优控制，使下列二次型性能指标最小。)(tu)(*tu01[()()()()](3)2TTtJytQytutRutdt观测系统完全能控且完全可终端时间,ft*1()()()(4)TutKxtRBPxt10(5)TTTPAAPPBRBPCQC与无限时间状态调节器问题类似，最优控制为：线性二次型(LQ)最优控制问题例已知二阶系统的状态方程为求使性能指标为极小值时的最优控制。解：022)]()([21dttrutyJ)(01)()(10)(0010)(txtytutxtx二次型性能指标为：rRQCBA101100010验证系统能控性2][ABBRank验证系统能观性2][TTTCACRank系统完全能控且完全能观线性二次型(LQ)最优控制问题展开整理得到三个代数方程012011122212221211212prppprpprP满足下列黎卡提矩阵代数方程：01QCCPBPBRPAPATTT)]()([1)()(]1,0[1)()(22212121222112111*txptxprtxtxpppprtPxBRtuT故最优控制为：2212111222211212pprprpprp利用矩阵P正定的性质00001222212221111pppppp，线性二次型(LQ)最优控制问题)(2)()]()([1)(241121222121*txrtxrtxptxprtu线性二次型(LQ)最优控制问题A=[01;00]B=[0;1]C=[10]D=0sys=ss(A,B,C,D)Q=1R=1K=lqry(sys,Q,R,0)线性二次型(LQ)最优控制问题线性二次型(LQ)最优控制问题跟踪器线性二次型(LQ)最优控制问题设线性时变系统的状态方程为（系统完全可观测）()()()()()(1)()()()(2)xtAtxtBtutytCtxt假设控制向量不受约束，用表示期望输出，则误差向量为)(tu)(*tu011()()()[()()()()()()](4)22ftTTTfftJuetFetetQtetutRtutdt()()()(3)retytyt)(tyr求最优控制，使下列二次型性能指标最小。物理意义：以较小的控制能量为代价，使误差保持在零值附近。线性时变系统的跟踪问题线性二次型(LQ)最优控制问题应用极小值原理求解u（t）的表达式11(5)2211[][][]22TTTTTTTTTTrrHLfeQeuRuxAuByCxQyCxuRuAxBu规范方程组：1(7)TTTTrxAxBRBAxSHCQCxACQyx因控制不受约束，故沿最优轨线有：10()(6)TTHRuButRBu)()()()()()(txtCtytytyterr线性二次型(LQ)最优控制问题写成矩阵形式：0(8)rTTTxASxyCQCACQ为非齐次线性时变微分方程，其中右边第