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2017年北京市高级中等学校招生考试数学试卷学校______________________姓名_____________________准考证号___________________考生须知1.本试卷共8页，共三道大题，29道小题，满分120分．考试时间120分钟．2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号．3.试卷答案一律添涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色自己签字笔作答．5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．如图所示，点P到直线l的距离是（）．A．线段PA的长度B．线段PB的长度C．线段PC的长度D．线段PD的长度2．若代数式4xx有意义，则实数x的取值范围是（）．A．0xB．4xC．0xD．4x3．右图是某个几何题的展开图，该几何体是（）．A．三棱柱B．圆锥C．四棱柱D．圆柱4．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）．A．4aB．0bdC．abD．0bc5．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）．A．B．C．D．6．若正多边形的一个内角是150，则该正多边形的边数是（）．A．6B．12C．16D．187．如果2210aa，那么代数式242aaaa的值是（）．A．3B．1C．1D．38．下面的统计图反映了我国与“一带一路”沿线部分地区的贸易情况．20112016年我国与东南亚地区和东欧地区的贸易额统计图（以上数据摘自《“一带一路”贸易合作大数据报告（2017）》）根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（）．A．与2015年相比，2016年我国与东欧地区的贸易额有所增长B．20112016年，我国与东南亚地区的贸易额逐年增长C．20112016年，我国与东南亚地区的贸易额的平均值超过4200亿美元D．2016年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的3倍还多9．小苏和小林在右图所示的跑道上进行450米折返跑．在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y（单位：m）与跑步时间t（单位：s）的对应关系如下图所示．下列叙述正确的是（）．A．两人从起跑线同时出发，同时到达终点B．小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度C．小苏前15s跑过的路程大于小林前15s跑过的路程D．小林在跑最后100m的过程中，与小苏相遇2次10．下图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．下面有三个推断：①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616；②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620．其中合理的是（）．A．①B．②C．①②D．①③二、填空题（本题共18分，每题3分）11．写出一个比3大且比4小的无理数：__________．12．某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为__________．13．如图，在ABC△中，M、N分别为AC，BC的中点．若1CMNS△，则ABNMS四边形__________．14．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，ADCD．若40CAB，则CAD__________．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，AOB△可以看作是OCD△经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一中由OCD△得到AOB△的过程：__________．16．下图是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程．已知：RtABC△，90C，求作：RtABC△的外接圆．作法：如图．（1）分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；（2）作直线PQ，交AB于点O；（3）以O为圆心，OA为半径作⊙O．⊙O即为所求作的圆．请回答：该尺规作图的依据是__________．三、解答题（本题共72分，第17题-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程17．计算：04cos30(12)122．18．解不等式组：2(1)571023xxxx．19．如图，在ABC△中，ABAC，36A，BD平分ABC交AC于点D．求证：ADBC．20．数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》）请根据上图完成这个推论的证明过程．证明：()ADCANFFGCNFGDSSSS矩形△△△，ABCEBMFSS矩形△（__________+__________）．易知，ADCABCSS△△，____________________，____________________．可得NFGDS矩形EBMFS矩形．21．关于x的一元二次方程2(3)220xkxk．（1）求证：方程总有两个实数根．（2）若方程有一根小于1，求k的取值范围．22．如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，ADBC∥，2ADBC，90ABD，E为AD的中点，连接BE．（1）求证：四边形BCDE为菱形．（2）连接AC，若AC平分BAD，1BC，求AC的长．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数(0)kyxx的图象与直线2yx交于点(3,)Am．（1）求k、m的值．（2）已知点(,)(0)Pnnn，过点P作平行于x轴的直线，交直线2yx于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数(0)kyxx的图象于点N．①当1n时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由．②若PNPM≥，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．24．如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作ECOA于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D．（1）求证：DBDE．（2）若12AB，5BD，求⊙O的半径．25．某工厂甲、乙两个部门各有员工400人，为了解这两个部门员工的生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．收集数据从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工，进行了生产技能测试，测试成绩（百分制）如下：甲7886748175768770759075798170748086698377乙9373888172819483778380817081737882807040整理、描述数据按如下分数段整理、描述这两组样本数据：成绩x人数部门4049x≤≤5059x≤≤6069x≤≤7079x≤≤8089x≤≤90100x≤≤甲0011171乙（说明：成绩80分及以上为生产技能优秀，70~79分为生产技能良好，60~69分为生产技能合格，60分以下为生产技能不合格）分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：部门平均数中位数众数甲78.377.575乙7880.581得出结论a．估计乙部门生产技能优秀的员工人数为__________；b．可以推断出__________部门员工的生产技能水平较高，理由为__________________．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）26．如图，P是AB所对弦AB上一动点，过点P作PMAB交AB于点M，连接MB，过点P作PNMB于点N．已知6cmAB，设A、P两点间的距离为cmx，P、N两点间的距离为cmy．（当点P与点A或点B重合时，y的值为0）小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：/cmx0123456/cmy02.02.32.10.90（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．，（3）结合画出的函数图象，解决问题：当PAN△为等腰三角形时，AP的长度约为__________cm．27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线243yxx与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求直线BC的表达式．（2）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点11(,)Pxy，22(,)Qxy，与直线BC交于点33(,)Nxy，若123xxx，结合函数的图象，求123xxx的取值范围．28．在等腰直角ABC△中，90ACB，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQCP，过点Q作QHAP于点H，交AB于点M．（1）若PAC，求AMQ的大小（用含的式子表示）．（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．29．在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点．（1）当⊙O的半径为2时，①在点11(,0)2P，213(,)22P，35(,0)2P中，⊙O的关联点是__________．②点P在直线yx上，若P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围．（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线1yx与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．