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第一章三角形的证明周周测6角平分线的性质和判定一、选择题1．如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别在D′,C′的位置，若∠EFB=65°，则∠AED′等于（）A．70°B．65°C．50°D．25°第1题图第2题图第3题图2．如图所示．在ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E．若AB=6cm，则DEB的周长为（）A．12cmB．8cmC．6cmD．4cm3．如图所示，D，E分别是△ABC的边AC．BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°4．如图所示，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B，下列结论不一定成立的是（）A．PA=PBB．PO平分∠APBC．OA=OBD．AB垂直平分OP第4题图第5题图第6题图5.如图，已知点D是∠ABC的平分线上一点，点P在BD上，PA⊥AB，PC⊥BC，垂足分别为A，C．下列结论错误的是（）．A．AD=CPB．△ABP≌△CBPC．△ABD≌△CBDD．∠ADB=∠CDB．6.如图所示，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D、C，AD与BC相交于点P，若PA＝PB，则∠1与∠2的大小是（）A.∠1＝∠2B.∠1＞∠2C.∠1＜∠2D.无法确定二、填空题1.已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E,且DE=5cm,则点D到AC的距离是_____.2.如图，△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，在以下结论中：①△ADE≌△ADF；②△BDE≌△CDF；③△ABD≌△ACD；④AE=AF；⑤BE=CF；⑥BD=CD．其中正确结论的个数是_______.第2题图第3题图第4题图第5题图3.如图，Rt△ABC中，∠C=90º，BD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，BC=6，CD=3，AE=4，则DE=_______，AD=_______，△ABC的周长是_______．4.如图，△ABC中，∠C=90º，BD平分∠ABC交AC于D，DE是AB的垂直平分线，DE=12BD，且DE=1.5cm，则AC等于________.5.△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，已知BC=8cm，BD=5cm，则点D到AB的距离为_______．6．如图所示，∠AOB=40°，OM平分∠AOB，MA⊥OA于A，MB⊥OB于B，则∠MAB的度数为________．三、证明题1.如图，已知D为△ABC的BC边的中点，DE、DF分别平分∠ADB和∠ADC，求证：BE＋CFEF.2．如图，已知CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD交BE于点O．⑴若OC=OB，求证：点O在∠BAC的平分线上．⑵若点O在∠BAC的平分线上，求证：OC=OB．3.如图，四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥BC，AD⊥CD，P是对角线AC上一点，求证：PB=PD.PDCBA参考答案一、选择题1.答案：C解析：【解答】∵折痕EF恰为∠DED′的角平分线，∴∠DEF=∠D′EF．又∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB=65°∴∠DED′=65°×2=130°∴∠AED′=180°一∠DED′=50°．【分析】利用角平分线的性质和平行线的性质可知答案.2.答案：C解析：【解答】∵∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E．∴DE=DC，∴AE=AC=BC，∴BE＋DE＋BD=BD＋DC＋BE＝BC＋BE=AC＋BE=AE＋BE=AB=6cm．【分析】利用角平分线的性质和等腰三角形的性质可知答案.3.答案：D解析：【解答】∵△ADB≌△EDB≌△EDC，∴∠C=∠DBE=∠DBA，∠DEC=∠DEB=∠A=90°，∴∠C=30°【分析】根据△ADB≌△EDB≌△EDC，可证∠C=∠DBE=∠DBA，∠DEC=∠DEB=∠A=90°，可知答案.4.答案：D解析：【解答】∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B，∴PA=PB,（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）∴△OAP≌△OBP，(HL)∴OA=OB，∠APO=∠BPO∴AB垂直平分OP【分析】证明△OAP≌△OBP，可得答案．5.答案：A解析：【解答】∵点D是∠ABC的平分线上一点，点P在BD上，PA⊥AB，PC⊥BC，垂足分别为A，C．∴PA=PC∴△ABP≌△CBP,△ABD≌△CBD,∴∠ADB=∠CDB,故选A【分析】通过角平分线上的性质的运用推得△ABP≌△CBP,△ABD≌△CBD,∠ADB=∠CDB三项成立,A项不成立,能推出AD=DC,也能推得AP=PC.6.答案：A解析：【解答】∵AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D、C，AD与BC相交于点P，PA＝PB，∠CPA=∠DPB∴△CPA≌△∠DPB(AAS)∴PC=PD∴∠1＝∠2【分析】∵AD⊥OB，BC⊥OA，PA＝PB，由角平分线的判定可知∠1＝∠2．二、填空题1.答案：5解析：【解答】∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，∴点D到AB、AC的距离相等∴点D到AC的距离是5【分析】利用角平分线的性质：角平分线上的一点到角的两边距离相等即可知道答案.2.答案：2．解析：【解答】∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴△ADE≌△ADF∴AE=AF，故正确结论的个数是2.【分析】利用角的平分线的性质和全等三角形的判定定理.3.答案：3，5，24解析：【解答】∵Rt△ABC中，∠C=90º，BD是角平分线，DE⊥AB，∴CD=DE=3，∴Rt△BCD≌Rt△BED，∴BC=BE=6，又∵AE=4，∴AB=10，∴AC=8，∴AD=5，∴△ABC的周长=24.【分析】利用角的平分线的性质、勾股定理和全等三角形的判定定理.4.答案：4.5解析：【解答】∵∠C=90º，BD平分∠ABC交AC于D，∴DE=CD=1.5又∵DE=12BD，∴BD=3.∵DE是AB的垂直平分线，∴BD=AD=3.∴AC=4.5【分析】利用角的平分线的性质和线段垂直平分线的性质，可知答案.5.答案：3解析：【解答】如图所示，∵AD平分∠CAB，DC⊥AC于点C，DM⊥AB于点M．∴CD=DM，∴DM=CD=BC-BD=8-5=3．【分析】利用角的平分线的性质6.答案：20°解析：【解答】∵OM平分∠AOB，∴∠AOM=∠BOM=2AOB=20°．又∵MA⊥OA于A，MB⊥OB于B，∴MA=MB．∴Rt△OAM≌Rt△OBM，∴∠AMO=∠BMO=70°，DACBM∴△AMN≌△BMN，∴∠ANM=∠BNM=90°，∴∠MAB=90°-70°=20°．【分析】利用角的平分线的性质和全等三角形的判定定理三、证明题1.答案：见解答过程解析：【解答】在DA上取一点M，使DM=DB=DC，连结EM、MF，∵DE平分∠ADB，∴∠BDE=∠EDM.又∵DM=BD，DE=DE，∴△BED≌△MED.同理可得△MFD≌△CFD.∴BE=EM，CF=MF.∵在△EMF中，EM＋MFEF.∴BE＋CFEF.【分析】在DA上取一点M，使DM=DB=DC，连结EM、MF，实质上是将△DBE及△DFC分别沿DE、DF翻折180°得到△DEM及△MFD，从而使问题得到解决的.2.答案：见解答过程解析：【解答】（1）∵CD⊥AB，BE⊥AC∴∠CEO=∠BDO=90°∵∠CEO=∠BDO=90°，∠EOC=∠DOB（对顶角相等），OC=OB（已知），∴△COE≌△BOD（AAS）∴OE=OD∴点O在∠BAC的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）（2）∵点O在∠BAC的平分线上，CD⊥AB，BE⊥AC∴OC=OB（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）∵∠CEO=∠BDO=90°，∠EOC=∠DOB（对顶角相等），OD=OE∴△COE≌△BOD.（ASA）∴OC=OB（全等三角形的对应边相等）【分析】（1）证明△COE≌△BOD得到OE=OD；（2）先由角平分线的性质证明OE=OD，再证明△COE≌△BOD.3.答案：见解答过程解析：【解答】∵AB=AD，AB⊥BC，AD⊥CD，AC=AC∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）∴CB=CD（全等三角形的对应边相等）∴AC平分∠BAD（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）∵AB=AD，∠BAP=∠ADP，AP=AP∴△APB≌△APD.(SAS)∴PB=PD.（全等三角形的对应边相等）【分析】先证Rt△ABC≌Rt△ADC，再证△APB≌△APD.