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第1页（共12页）莆田市第一联盟体2019-2020学年上学期高三联考试卷理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号和座位号填写在答题卡上；2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上；3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效；4.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z满足 崰ᔋ불߉욌 ，则|z|＝（）A． B．3C．5D．252．设集合 ᔋ 불߉욌，N＝{x| ≥4}，则M∩Nᔋ（）A． B． 불 욌C．[2，3]D．[2,3）3．在等比数列{an}中， ߉ 욌ᔋ ， ߉ 불ᔋ 욌，则 ߉ ߉ 욌ᔋ（）A．6B．7C．8D．154．已知角 的始边与 轴非负半轴重合，终边过点 불불불 చ욌욌욌욌 ，则 㩰 的值为（）A． B. C. 불 D． 불 5.某三棱锥的三视图如图所示，已知它的体积为불욌，则图中 的值为（）A．2B. C.1D． 第2页（共12页）6．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征.如函数 ᔋ చ 的图像大致是（）A．B．C．D．7．在梯形 㮰చ昀中， 昀 㮰చ불㮰చᔋ 㮰ᔋ 昀ᔋ 불∠㮰 చᔋ 욌욌，若㮰昀 ᔋ욌㮰 ，则AEBC的值为（）A． 불B. C. D．08．设 ᔋ చ 불㮰ᔋ ，则（）A． 㮰ܾ 㮰ܾ ߉㮰B. 㮰ܾ ߉㮰ܾ 㮰C. ߉㮰ܾ 㮰ܾ 㮰D． ߉㮰ܾ 㮰ܾ 㮰9．关于函数 ᔋ 㩰 ߉ చ 有下述四个结论：① 的图象关于 轴对称；② 在 불 욌有3个零点；③ 的最小值为 ；④ 在区间 불불 单调递减.其中所有正确结论的编号是()A．①②B．①③C．①④D．③④10．已知双曲线2222100xyabab，的左、右焦点分别为，，过作圆 ߉ ᔋ 的切线，交双曲线右支于点，若∠ ᔋ욌욌욌，则双曲线的渐近线斜率为（）A． （욌 욌）B． （욌߉욌）C． ߉욌욌D． 욌욌11．2019年11月18日国际射联步手枪世界杯总决赛在莆田市综合体育馆开幕，这是国际射联步手枪世界杯总决赛时隔10年再度走进中国。为了增强趣味性，并实时播报现场赛况，我校现场小记者李明和播报小记者王华设计了一套播报转码法，发送方由明文→密文（加密），第3页（共12页）接受方由密文→明文（解密），已知加密的方法是：密码把英文的明文（真实文）按字母分解，其中英文的a，b，c，…，z的26个字母（不论大小写）依次对应1，2，3，…，26这26个自然数,通过变换公式：yᔋx߉ x∈N∗불x≤ 불불x不能被 整除 x ߉ 욌 x∈N∗불x≤ 불불x能被 整除），将明文转换成密文，如불 불 ߉ 욌ᔋ 불，即f变换成p； ߉ ᔋ 욌，即y变换成m．若按上述规定，若王华收到的密文是ukweat，那么原来的明文是（）A．fujianB．puxianC．putianD．fuxian12．函数 满足1,[,)2xefxfxxx， ᔋ ,若 ≤ 恒成立,则 的取值范围为（）A．213，B．2[,)3C．욌， D．12,23二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若向量 ᔋ 불 和㮰 ᔋ 불 垂直，则 㮰 ᔋ_______．14．已知 불 满足 욌， 욌， ߉ 욌 욌，，则 ߉ ߉ 的取值范围为_________.15．已知直线l： ᔋ 与抛物线చ： ᔋ불 相交于不同的两点AB，，M为AB的中点，线段AB的垂直平分线线交 轴于点N，则MN的长为.16．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，动点P在对角线BD1上，过点P作垂直于BD1的平面α，记平面α截正方体得到的截面多边形（含三角形）的周长为y＝f（x），设BP＝x，x∈（0， 욌）.（Ⅰ）下列说法中，正确的编号为．①截面多边形可能为四边形；② 욌 ᔋ욌 ；③函数 的图象关于 ᔋ욌对称.（Ⅱ）当 ᔋ욌时,三棱锥 㮰చ的外接球的表面积为．第4页（共12页）三.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17 21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．（本小题12分）在△ 㮰చ中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 చ 㩰 㮰 చ㮰 㩰 ᔋ 㮰㮰.（1）求A；（2）已知 చᔋ ，点D在AB上，且 昀ᔋ욌昀㮰，若 㮰చ昀的面积为욌，求线段㮰చ的长．18．（本小题12分）在正项数列{an}中，已知 ᔋ ， చ߉ చᔋ చ߉ ߉ చ且 చ ᔋ㮰చ .（1）证明：数列{bn}是等差数列；（2）设{bn}的前n项和为Sn，证明：123111134nSSSS．19．（本小题12分）如图：已知正方形ABCD的边长为，沿着对角线 చ将△ACD折起,使D到达P的位置，且 ᔋ 㮰．（1）证明：平面 చ⊥平面 㮰చ；（2）若M是 చ的中点，点N在线段PA上，且满足直线MN与平面PAB所成角的正弦值为65，求||||PNNA的值．图（1）图（2）第5页（共12页）20．（本小题12分）已知：椭圆222210xyabab的右焦点为F，M为上顶点，O为坐标原点，若OMF的面积为2，且椭圆的离心率为22.（1）求椭圆的方程；（2）直线l交椭圆于,PQ两点，当F为PQM的垂心时，求PQM的面积.21．（本小题12分）已知函数 ᔋ ߉ చ ， ∈ .（1）讨论 的单调性；（2）当 ܾ욌时，记 的最小值为 ，证明：5Me.（二）选考题：共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程](本小题10分)已知曲线చ的参数方程为 ᔋ욌 㩰 ᔋ చ 为参数，在同一平面直角坐标系中，将曲线చ上的点按坐标变换 ᔋ욌욌 ᔋ 得到曲线చ ，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.设 点的极坐标为32，.（1）求曲线చ 的极坐标方程；（2）若过点 且倾斜角为6的直线 与曲线చ 交于 불చ两点，求||||AMAN的值.23.[选修4—5：不等式选讲]（本小题10分）已知函数 ᔋ 㜷 ，㜷∈ ，且 ߉ 욌的解集为 ≤ ≤ .（1）求㜷的值；（2）若 불㮰불 都为正数，且 ߉ 㮰߉ 불 ᔋ㜷，证明： ߉ 㮰߉불 .第6页（共12页）莆田市第一联盟体2019-2020学年上学期高三联考参考答案理科数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．123456789101112CDBBCADDCACA二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．5；14．욌， ；15． ；16．（Ⅰ）②③；（Ⅱ） 三.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17 21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．（12分）在 㮰చ中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 చ 㩰 㮰 చ㮰 㩰 ᔋ 㮰㮰.（1）求A；（2）已知 చᔋ ，点D在AB上，且 昀ᔋ욌昀㮰，若 㮰చ昀的面积为욌，求线段㮰చ的长．解析 చ 㩰 㮰 చ㮰 㩰 ᔋ 㮰㮰. చ 㩰 㮰 చ㮰 㩰 ᔋ చచ చ㮰 చ㮰………………….………………….1分 చ 㩰 㮰 㩰 ᔋ చచ చ㮰,………………….………………….2分 చ 㩰 㮰ᔋ చచ 㩰 చ㮰 㩰 చ 㩰 㮰߉ చ㮰 㩰 ᔋ చచ 㩰 ………………….………………….3分 sin ߉㮰 ᔋ చచ 㩰 sin చᔋ చచ 㩰 ………………….……………4分又 చ∈ 욌불 , sinC 욌, cosAᔋ ,且A∈（0， , ᔋ 욌…………………………….……..5分 昀ᔋ욌昀㮰， 㮰చᔋ불 㮰昀చ……………………………..……..6分 㮰昀చᔋ욌, 㮰చᔋ불욌,且 చᔋ ………………….………………7分第7页（共12页） bcsinA=불욌,即 .욌 ᔋ불욌…………………..….………8分 ᔋచ……………………..…………9分 ᔋ㮰 ߉ 㮰 㩰 ………………………………10分 ᔋ불불߉불 చ 㩰 욌 ᔋ 욌………………………..……12分18．（12分）在正项数列{an}中，已知 ᔋ ， చ߉ చᔋ చ߉ ߉ చ且 చ ᔋ㮰చ .（1）证明：数列{bn}是等差数列；（2）设{bn}的前n项和为Sn，证明：123111134nSSSS．（1） చ߉ చᔋ చ߉ ߉ చ చ߉ చ ᔋ 数列 చ 是公差为2的等差数列………………………..……..1分 ᔋ ᔋ1, చ ᔋ ߉ చ చ ᔋ చ …………………………….…..2分 చ ᔋ㮰చ 㮰చᔋ చ ߉ …………………………….…..3分 㮰చᔋ చ߉ ) 㮰చ߉ 㮰చᔋ చ߉욌 చ߉ ᔋ …………………………….…..4分 数列nb是等差数列………………………………....5分（2）由（1）可得∴Sn＝＝n（n+2）………………………………....6分∴＝（﹣），…………………………………..8分∴+++…+＝[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（﹣）]＝（1+﹣﹣）＝﹣（+）＜……………………………….12分第8页（共12页）19．（12分）已知正方形ABCD的边长为，沿着对角线 చ将△ACD折起,使D到达P的位置，且 ᔋ 㮰．（1）证明：平面 చ⊥平面 㮰చ；（2）若M是 చ的中点，点N在线段PA上，且满足直线MN与平面PAB所成角的正弦值为불 ，求 చ చ 的值．解：（1）取AC的中点O，连接OP，OB，∵PA＝PC且O为AC的中点，∴OP⊥AC；同理，OB⊥AC．…………..2分∴AC⊥平面POB，则有∠POB为平面P﹣AC﹣B的平面角，…………..3分又∵在△POB中，OP＝OB＝1，BP＝，则有OP2+OB2＝BP2∴∠POB＝90°∴平面PAC⊥平面ABC………………..…..5分（2）由（1）可知，OP⊥平面ABC，则有OP⊥OC，OP⊥OB，又OB⊥OC，则以O为原点，,,OCOBOP所在直线为,,xyz轴建立如上空间直角坐标系．…….…….6分则有，OA＝OB＝OC＝OP＝1，∴A（﹣1，0，0），B（0，1，0），C（1，0，0），P（0，0，1），……..……..7分∵M是PC的中点，∴M，又设 చ ᔋ ，则 చ ᔋ 则N点的坐标为（- ，욌， − ），∴ చ ᔋ ，0, ……..……..8分