第二节可分离变量的微分方程

第二节可分离变量的微分方程教学目的：熟练掌握可分离变量的微分方程的解法教学重点：可分离变量的微分方程的解法教学难点：可分离变量的微分方程的解法教学内容：本节开始,我们讨论一阶微分方程),(yxfy(1)的一些解法.一阶微分方程有时也写成如下的对称形式:0),(),(dyyxQdxyxP(2)在方程(2)中,变量x与y对称,它既可以看作是以为x自变量、y为未知函数的方程),(),(yxQyxPdxdy)0),((yxQ,也可看作是以x为自变量、y为未知函数的方程),(),(yxPyxQdydx)0),((yxP,在第一节的例1中，我们遇到一阶微分方程xdxdy2，或.2xdxdy把上式两端积分就得到这个方程的通解：Cxy2。但是并不是所有的一阶微分方程都能这样求解。例如，对于一阶微分方程22xydxdy（3）就不能像上面那样直接两端用积分的方法求出它的通解。原因是方程（3）的右端含有未知函数y积分dxxy22求不出来。为了解决这个困难，在方程（3）的两端同时乘以2ydx，使方程（3）变为xdxydy22，这样，变量x与y已分离在等式的两端，然后两端积分得Cxy21或Cxy21（4）其中C是任意常数。可以验证，函数（4）确实满足一阶微分方程（3），且含有一个任意常数，所以它是方程（3）的通解。一般地，如果一个一阶微分方程能写成dxxfdyyg)()(（5）的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含y的函数和dy，另一端只含x的函数和dx，那么原方程就称为可分离变量的微分方程。假定方程（5）中的函数)(yg和)(xf是连续的，设)(xy是方程的解，将它代入（5）中得到恒等式.)()()]([dxxfdxxxg将上式两端积分，并由)(xy引进变量y，得dxxfdyyg)()(设)(yG及)(xF依次为)(yg和)(xf的原函数，于是有CxFyG)()(（6）因此，方程（5）满足关系式（6）。反之，如果)(xy是由关系到式（6）所确定的隐函数，那么在0)(yg的条件下，)(xy也是方程（5）的解。事实上，由隐函数的求导法可知，当0)(yg时，,)()()()()('ygxfyGxFx这就表示函数)(xy满足方程（5）。所以如果已分离变量的方程（5）中)(yg和)(xf是连续的，且0)(yg，那么（5）式两端积分后得到的关系式（6），就用隐式给出了方程（5）的解，（6）式就叫做微分方程（5）的隐式解。又由于关系式（6）中含有任意常数，因此（6）式所确定的隐函数是方程（5）的通解，所以（6）式叫做微分方程（5）的隐式通解。例1求微分方程xydxdy2（7）的通解。解方程（7）是可分离变量的，分离变量后得xdxydy2两端积分,2xdxydy得,ln12Cxy从而2112xCCxeeey。又因为1Ce仍是任意常数，把它记作C便得到方程（7）的通解2xCey。例2放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减少，这种现象叫做衰变。由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比。已知0t时铀的含量为0M，求在衰变过程中含量)(tM随时间变化的规律。解铀的衰变速度就是)(tM对时间t的导数dtdM。由于铀的衰变速度与其含量成正比，得到微分方程如下,MdtdM（8）其中)0(是常数，叫做衰变系数。前的负号是指由于当t增加时M单调减少，即0dtdM的缘故。由题易知，初始条件为00MMt方程（8）是可以分离变量的，分离后得.dtMdM两端积分.dtMdM以Cln表示任意常数，因为0M，得,lnlnCtM即.tCeM是方程（8）的通解。以初始条件代入上式，解得CCeMo0故得.0teMM由此可见，铀的含量随时间的增加而按指数规律衰落减。例3设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速度成正比，设降落伞离开跳伞塔时（0t）速度为零，求降落伞下落速度与时间的函数关系．解设降落伞下落速度为()vt，降落伞在空中下落时，同时受到重力P与阻力R的作用．重力大小为mg，方向与v一致；阻力大小为kv（k为比例系数），方向与v相反，从而降落伞所受外力为Fmgkv根据牛顿第二运动定律Fma（其中a为加速度）得函数()vt应满足的方程为dvmmgkvdt（９）按题意，初始条件为00tv方程（９）分离变量后得dvdtmgkvm两端积分得1ktkCmmgkve（10）将初始条件00tv代入（10）式得mgCk于是所求的特解为(1)ktmmgvek例4有高1cm的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面面积为1cm2(图12-1)。开始时容器内盛满了水，求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h（水面与孔口中心间的距离）随时间t变化的规律。解由水力学知道，水从孔口流出的流量（即通过孔口横截面的水的体积V对时间t的变化率）Q可用下列公式计算：0.622dVQSghdt其中0.62为流量系数，S为孔口横截面面积，g为重力加速度，现在孔口横截面面积21cmS，故0.622,dVghdt或0.622dVghdt（9）另一方面，设在微小时间间隔[,]ttdt内，水面高度由h降至(0)hdhdh，则又可得到2,dVrdh（10）其中r是时刻t的水面半径(图12—3)，右端置负号是由于0dh，而0dV的缘故。又因222100(100)200rhhh所以（10）式变成2(200)dVhhdh。（11）比较（9）和（11）两式，得20.622(200),ghdthhdh（12）这就是未知函数()hht应满足得微分方程。此外，开始时容器内的水是满的，所以未知函数()hht还应满足下列初始条件：0|100th。（13）方程（13）是可分离变量的。分离变量后得1322(200)0.622dthhdhg两端积分，得1322(200),0.622thhdhg即35224002350.622thhCg（14）其中C是任意常数。把初始条件（13）代入（14）式，得352240020100100350.622Cg因此5400000200000141035150.6220.622Cgg把所得的C值代入（14）式并化简，就得355322(710103)4.652thhg。补充例题1.求方程2dyydx的所有解．解变量分离得12dydxy两边积分得yxC通解为22()yxC此外，还有解y=0．无论C取怎样的常数，解y=0均不能由通解表达式y=2()xc得出,即直线y=0(x轴)虽然是原方程的一条积分曲线，但它并不属于这方程的通解所确定的积分曲线族y=2()xc(抛物线)内，称这样的解为方程的奇解．2.2(1)'arctan(0)0xyxcy解初值问题解分离变量，得2arctanarctan(arctan)1xdydxxdxx所以21(arctan)2yxC代入初始条件，得C=0，故所求特解为21(arctan)2yx小结与思考：可分离变量方程的解法为变量分离后再积分。应用微分方程解决综合型问题的方法和思路是怎样的和思路是怎样的？作业：作业见作业