全等三角形提高篇(更新版)

-1-/7全等三角形的有关证明（提高篇）关键：三角形全等的证明及其运用关键点在于“把相等的边（角）放入正确的三角形中”，去说明“相等的边（角）所在的三角形全等”，利用三角形全等来说明两个角相等（两条边相等）是初中里面一个非常常见而又重要的方法。要说明两边相等，两角相等，最常用的方法就是说明三角形全等直角三角形的全等问题：直角三角形的研究是整个中学几何图形部分里的重点！直角三角形有关的全等问题中，除了特用的HL定理之外，在条件的寻找上首先就有了一组直角相等；而多个直角，多个垂直的图形组合在一块时，就很容易利用“同（等）角的余角相等”来得到其他的角相等。例一：图1，已知DO⊥BC，OC=OA，OB=OD，问CD=AB吗？[分析]：此图形可看作绕O点旋转得到，由垂直得到一组直角，把结合其他两组边，很容易找到他们所在的三角形。[变形1]：请说明△BCE是直角三角形。（利用全等三角形的对应角相等，以及直角三角形的两个锐角互余这两个性质进行代换和转换）解：易得△AOB≌△COD（此过程较简单，略过不描述）∴∠B=∠D（全等三角形的对应角相等）又∠OAB=∠DAE（对顶角相等）而在Rt△AOB中，∠OAB+∠B=90°（直角三角形的两个锐角互余）∴∠DAE+∠D=90°（等量代换）∴在△ADE中，∠DEA=180°（∠DAE+∠D）=90°（三角形内角和定理）∴∠BEC=90°（补角性质）故△BCE是直角三角形[变形2]：（2008威海）把两个含有45°角的直角三角板如图1放置，点D在BC上，连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F．求证：AF⊥BE．[分析]：此图中要说明AF⊥BE，与上题中△BCE是直角三角形是一样的意思，EBAOCD图1AFBCED-2-/7只需要说明∠BFD=90°即可[变形3]：两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，BCE，，在同一条直线上，连结CD．（彩图为提示）（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：CD⊥BE[变形4]、如图2，在△ABC中，高AD与BE相交于点H，且AD=BD，问△BHD≌△ACD，为什么？[分析]：此题实际上就是[变形1]的反问，已经存在一组直角（由垂直得到），一组相等的边（已知），再利用“同（等）角的余角相等”来得到第二组角相等！[变形5]：如图3，已知ED⊥AB，EF⊥BC，BD=EF，问BM=ME吗？说明理由。[变形6]：如图4，AD是一段斜坡，AB是水平线，现为了测斜坡上一点D的竖直高度DB的长度，欢欢在D处立上一竹竿CD，并保证CD⊥AD，然后在竿顶C处垂下一根绳CE，与斜坡的交点为点E，他调整好绳子CE的长度，使得CE=AD，此时他测得DE=2M，于是他认定DB的高度也为2M，你觉得对吗?请说明理由。图2ABCEHD图3ACMEFBD图4EBADC图2ACBED图1ACBED-3-/7例二：如图1，已知，AC⊥CE，AC=CE，∠ABC=∠CDE=90°，问BD=AB+ED吗?[分析]：（1）凡是题中的垂直往往意味着会有一组90°角，得到一组等量关系；（2）出现3个垂直，往往意味着要运用同（等）角的余角相等，得到另一组等量关系；（3）由全等得到边相等之后，还要继续往下面想，这几组相等的边能否组合在一起：如如图6，除了得到三组对应边相等之外，还可以得到AC=BD。解答过程：得到△ABC≌CDE之后，可得到BC=DE，AB=CD∴BC+CD=DE+AB（等式性质）即：BD=AB+DE[变形1]：如图7，如果△ABC≌△CDE，请说明AC与CE的关系。[注意]：两条线段的关系包括：大小关系（相等，一半，两倍之类）位置关系（垂直，平行之类）[变形2]：（2008泸州）如图，E是正方形ABCD的边DC上的一点，过点A作FA⊥AE交CB的延长线于点F，求证：DE=BF[分析]：注意图形中有多个直角，利用同角的余角相等或等式性质可到一组锐角相等。图6OABCDBDECA图5BDECA图7FABDCE-4-/7[变形3]：如图8，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的直线，BD⊥AE，CE⊥AE，如果CE=3，BD=7，请你求出DE的长度。[分析]：说明相等的边所在的三角形全等，题中“AB=AC”，发现：AB在Rt△ABD中，AC在Rt△CAE中，所以尝试着去找条件，去说明它们所在的两个Rt△全等（如图9）于是：已经存在了两组等量关系：AB=AC，直角=直角，再由多个垂直利用同角的余角相等，得到第三组等量关系。解：由题意可得：在Rt△ABD中，∠1+∠ABD=90°（直角三角形的两个锐角互余）又∵∠BAC=90°（已知），即∠1+∠CAE=90°∴∠ABD=∠CAE（等角的余角相等）故在△ABD与△CAE中，∠BDA=∠AEC=90°（垂直定义）∠ABD=∠CAE（已求）AB=AC（已知）∴△ABD≌△CAE（AAS）∴AE=BD=7，AD=EC=3（全等三角形的对应边相等）∴DE=AEAD=73=4[变形4]：在△ABC中，∠ACB=900，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。（1）当直线MN绕点C旋转到图9的位置时，△ADC≌△CEB，且DE=AD+BE。你能说出其中的道理吗？（2）当直线MN绕点C旋转到图10的位置时，DE=AD-BE。说说你的理由。（3）当直线MN绕点C旋转到图11的位置时，试问DE，AD，BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系。EDACB图81EDACB图9图11EDCBANM图12EDCBANMEDCBANM图10-5-/7等腰三角形、等边三角形的全等问题：[必备知识]：如右图，由∠1=∠2，可得∠CBE=∠DBA；反之，也成立。例三：已知在△ABC中，AB=AC，在△ADE中，AD=AE，且∠1=∠2，请问BD=CE吗？[分析]这类题目的难点在于，需要将本来就存在于同一个三角形中的一组相等的边，分别放入两个三角形中，看成是一组三角形的对应边，∴题目中所给的△ABC与△ADE是用来干扰你的思路的，应该去想如何把两组相等的边联系到一起，加上所求的“BD=CE”，你会发现BD在△ABD中，CE在△ACE中，这样一来，“AB=AC”可以理解为：AB在△ABD中，AC在△ACE中，它们是一组对应边；“AD=AE”可以理解为：AD在△ABD中，AE在△ACE中，它们是一组对应边；所以只需要说明它们的夹角相等即可。关键还是在于：说明“相等的边（角）所在的三角形全等”解：∵∠1=∠2（已知）∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD（等式性质）即：∠BAD=∠CAE∴在△ABD与△ACE中，AB=AC（已知）∠BAD=∠CAE（已求）AD=AE∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）[变形1]：如图13，已知∠BAC=∠DAE，∠1=∠2，BD=CE，请说明△ABD≌△ACE.吗？为什么？21ADCBE图142ACBED1图1312BCAED-6-/7[分析]：例三是两组边相等，放入一组三角形中，利用SAS说明全等，此题是两组角相等，那么该如何做呢?[变形2]：过点A分别作两个大小不一样的等边三角形，连接BD，CE，请说明它们相等。[分析]：此题实际上是例三的变形，只不过将等腰三角形换成了等边三角形，只要你根据所求问题，把BD看成在△ABD的一边，CE看成△ACE的一边，自然就得到了证明的方向。解：∵△ABC与△ADE是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE∠BAC=∠DAE=60°∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD（等式性质）即：∠BAD=∠CAE[变形3]：如图16—18，还是刚才的条件，把右侧小等边三角形的位置稍加变化，，连接BD，CE，请说明它们相等这里仅以图17进行说明解：∵△ABC与△ADE是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE∠BAC=∠DAE=60°∴∠BAC∠CAD=∠DAE∠CAD【仅这步有差别】即：∠BAD=∠BAD=∠CAE∴在△ABD与△ACE中，AB=AC（已知）∠BAD=∠CAE（已求）AD=AE∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）图16，图18的类型，请同学们自己去完成DCBAE图15DCBAE图18接下来的过程与例三完全一致，不予描述！DCBAEDCBAEDCBAEDCBAE图16DCBAE图17-7-/7[变形4]：（2008怀化）如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG，AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．求证：CGAE；[分析]：和上面相比，只不过等边三角形换成正方形，60°换成直角了，思路一样例四：如图，△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，M是AB的中点，点N在BC上，MN⊥AB.求证：AN平分∠BAC.[分析]：要说明AN平分∠BAC，必须说明两角相等，∴可以说明△AMN≌△CAN，而题中已有了一组直角相等，一组公共边（斜边）结合题目中条件，比较容易找到一边直角边相等，从而利用HL定理得到全等。[变形1]：在Rt△ABC中，已知∠A=90°，DE⊥BC于E点，如果AD=DE，BD=CD，求∠C的度数ABGDFECDEBACBCNMA