数学物理方法考试试题3

课程试卷库测试试题（编号：3）一、判断题（对的打“√”,错的打“×”，共5题，每题4分）1、在复数领域，函数Za−是一个多值函数。√2、若函数()fz在闭单通区域B内存在奇点，则一般来讲，()fz沿B境界线的积分不等于零。√3、若()fx的傅里叶变换像函数是()Fω，则0()ixefxω的像函数是0()Fωω−。√4、复变函数21()(2)fzZ=+在上半平面的二阶极点是2。×5、一端固定，另一端自由的均匀细杆的纵振动，其边界条件属于第一类齐次边界条件。×二、填空题（共5题，每题4分）1、cosix的模为2xxeechx−−=2、在00Z=，sinZZ的洛朗级数为241113!5!zz−+−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3、cteostω−的拉普拉斯变换函数为()2211ppω+++4、三维扩散方程可写为20tuau−∆=5、扩散流强度q的物理意义是单位时间内通过单位横截面积的原子或分子数。三、选择题（共5题，每题4分）1、复变函数的回路积分21cosZZdZZ=∫Ñ的积分值为3⑴i，⑵i−，⑶0，⑷2iπ。2、复变函数2()(1)(2)ZfzZZ=−−的极点和留数问题，正确的说法是：1⑴单极点1，留数1；二阶极点2，留数为1−；⑵二阶极点1，留数为1；二阶极点2，留数为1−；⑶一阶极点1，留数为1−；二阶极点2，留数为1−；，⑷一阶极点1，留数为1−；二阶极点2，留数为1；3、函数stehtλω的拉普拉斯像函数为：2⑴22()pωλω−+，⑵22()pωλω−−，⑶22()ppλλω−−+，⑷22()ppλλω−−−。4、求解二维拉普拉斯方程22222110uuuρρρρϕ∂∂∂++=∂∂∂，令(.)()()uRρϕρϕ=Φ，要求()(2)()()RRρϕπρϕΦ+=Φ，则此条件属于4⑴第一类边界条件，⑵第二类边界条件，⑶第三类边界条件，⑷自然周期条件。5、00x=是常微分方程20yyω′′+=的1⑴常点，⑵正则奇点，⑶即非常点也非正则奇点，⑷说不清。四、计算题（共2题，每题10分）1、计算回路积分211s2ZZdZinZÑ=−∫解：首先求函数的奇点221c2s2zzoszinz=−，令c20osz=，220izizee−+=41izz=−，()421zkπ=+，214kzπ+=，()0,1,2k=±±⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅但只有04zπ=±在积分回路之内：4422Re44c22s24zzzzsfzoszinzimimπππππ→−→−−=+==−−ll同理：Re44sfππ=−22121zzdziSinzÑπ=∴=−−∫2、求2()1EjpLpRpC=++的原函数解：222211()1122EEjpRLLppRRLLpLLLc==+++−−有（1）2102RLLC−=，2()RtLEjtteL−=（2）2102RLLC−，2221()s212RtLERjtehtLLCRLLLC−=−−（3）2102RLLC−，2222211()s414RtLERjteintLLCLRLLCL−=−−五、综合题（共1题，20分）研究细杆导热问题，初始时刻杆的一端温度为零度，另一端温度为0U，杆上温度梯度均匀，零度的一端保持温度不变，另一端跟外界绝热，试求细杆上的温度的变化。解：定解问题为：200000,0/txxxxxtuauuuuux===−====ll令(),()()uxtXxTt=代入上述方程并利用边界条件有()XX0,(0)0,X()01Xλ′′′+===⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅l()202TaTλ′+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅公式（1）构成本征值问题，本征值和本征函数为：()()22221,0,1,2,4kkπλ+==⋅⋅⋅⋅⋅⋅l，()121X()s2kxCinxπ+=l，公式（2）的解为：222212t2()kaTtCeπ+−=l这样一般解为：()222212012,skatkkkuxtCeinxππ+∞=+=∑ll应用初始条件有：001u2skkktCinxxπ∞=+=∑ll则00122ukxuCxSindxπ+=∫llll()0222112kukπ=−+()22221202201212(,)1s12ktatkkkuuxteinxkπππ+∞−=+∴=−+∑ll