材料力学第4章-圆轴扭转

第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算基础篇之四材料力学下一章上一章返回总目录圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计圆杆扭转时的变形及刚度条件工程中承受扭转的圆轴外加扭力矩、扭矩与扭矩图结论与讨论第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算剪应力互等定理剪切胡克定律工程中承受扭转的圆轴第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算返回返回总目录请判断哪一杆件将发生扭转？当两只手用力相等时，拧紧螺母的工具杆将产生扭转。工程中承受扭转的圆轴第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算传动轴请判断哪些零件将发生扭转？传动轴将产生扭转工程中承受扭转的圆轴第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算工程中承受扭转的圆轴第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算请判断哪一杆件将发生扭转？连接汽轮机和发电机的传动轴将产生扭转。工程中承受扭转的圆轴第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算外加扭力矩、扭矩与扭矩图返回返回总目录第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算外加扭力矩、扭矩与扭矩图第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算作用于构件的外扭矩与机器的转速、功率有关。在传动轴计算中，通常给出传动功率P和转速n，则传动轴所受的外加扭力矩Me可用下式计算：e9549[Nm]PMn其中P为功率，单位为千瓦（kW）；n为轴的转速，单位为转/分（r/min）。如果功率P的单位用马力（1马力=735.5N•m/s），则e[]7024[Nm][r/min]PMn马力eMP外加扭力矩、扭矩与扭矩图第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算外加扭力矩Me确定后，应用截面法可以确定横截面上的内力——扭矩，圆轴两端受外加扭力矩Me作用时，横截面上将产生分布剪应力，这些剪应力将组成对横截面中心的合力矩,称为扭矩（twistmoment），用Mx表示。+MeMenMeMxMx如果只在轴的两个端截面作用有外力偶矩，则沿轴线方向所有横截面上的扭矩都是相同的，都等于作用在轴上的外力偶矩。扭矩沿杆轴线方向变化的图形，称为扭矩图(diagramoftorsionmoment)。绘制扭矩图的方法与绘制轴力图的方法相似。外加扭力矩、扭矩与扭矩图第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算当在轴的长度方向上有两个以上的外力偶矩作用时，轴各段横截面上的扭矩将是不相等的，这时需用截面法确定各段横截面上的扭矩。外加扭力矩、扭矩与扭矩图第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算例题1圆轴受有四个绕轴线转动的外加力偶，各力偶的力偶矩的大小和方向均示于图中，其中力偶矩的单位为N.m，尺寸单位为mm。试：画出圆轴的扭矩图。BACD3153151116486150015002000外加扭力矩、扭矩与扭矩图第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算解：1．确定控制面外加力偶处截面A、B、C、D均为控制面。2．应用截面法，由平衡方程0xM确定各段圆轴内的扭矩486nBACD3153151116486150015002000n315Mx1=-315Mx3=486n315315Mx2=-630外加扭力矩、扭矩与扭矩图第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算3．建立Mx－x坐标系，画出扭矩图建立Mx－x坐标系，其中x轴平行于圆轴的轴线，Mx轴垂直于圆轴的轴线。将所求得的各段的扭矩值，标在Mx－x坐标系中，得到相应的点，过这些点作x轴的平行线，即得到所需要的扭矩图。BACD3153151116486150015002000315630Mx/N.mOx486630315486剪应力互等定理第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算返回返回总目录第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算剪应力互等定理剪切胡克定律xyzdxdydz微元能不能平衡？哪些力互相平衡？怎样才能平衡？nMeMxMxMeMe第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算剪应力互等定理剪切胡克定律怎样才能平衡？yzxdddxzyddd根据力偶平衡理论xyzdxdydz第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算剪应力互等定理剪切胡克定律剪应力成对定理在两个互相垂直的平面上，剪应力必然成对存在，且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线，这就是剪应力成对定理（pairingprincipleofshearstresses）。xyzdxdydz圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算返回返回总目录应用平衡方法可以确定圆杆扭转时横截面上的内力分量——扭矩，但是不能确定横截面上各点剪应力的大小。这是圆截面扭转剪应力分布的超静定性质。为了确定横截面上各点的剪应力，在确定了扭矩后，还必须知道横截面上的剪应力是怎样分布的。回顾超静定结构求解的“三部曲”:圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算ABFPl2lCFAFB平衡方程+变形协调+物性关系nMeMxMx应力分布应力公式变形应变分布平面假定物性关系静力方程圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算确定横截面上剪应力的方法与过程变形协调+物性关系+平衡方程nMeMxMx圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算应力分布应力公式变形应变分布平面假定物性关系静力方程变形协调+物性关系+平衡方程假定：圆轴受扭发生变形后，其横截面依然保持平面，刚性地转过一角度。这一假定称为平面假定。nMeMxMx圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算BAMeMenMeMxMx圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算dxrOrBACDC'D'dMxBAMeMenMeMxMx圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算rBAC'dxCDD'cdOrBACDrC'D'dxdOMxdxcdabdOc'd'Ordxrddxdxdd设半径处的剪应变为（），则有如下几何关系（变形协调）：圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算rBAC'dxCDD'cdOdxcdabdOc'd'Odxd圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算应力分布应力公式变形应变分布平面假定物性关系静力方程变形协调+物性关系+平衡方程ddxxGGddxddG圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算dxrOrBACDC'D'dMx变形协调+物性关系xyzdxdydzABCD圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算应力分布应力公式变形应变分布平面假定物性关系静力方程变形协调+物性关系+平衡方程ddxddGGxxGGdd圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算rOOdmaxrmaxrMxdxrOrBACDC'D'dMx圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算OdMx静力学方程变形协调+物性关系+平衡方程AxMAdAAId2PxGGddPddGIMxxAxMAd式中GIP—扭转刚度；IP—横截面的极惯性矩。圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算OdMx变形协调+物性关系+平衡方程xGGddPddGIMxxPIMx圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算应力分布应力公式应变分布平面假定物性关系静力方程变形rOMxddxddGx最大剪应力PPmaxmaxWMIMxxmaxPPIWWp——扭转截面模量。圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算rOmaxrmaxrMxPIMxAAId2P截面的极惯性矩与扭转截面模量=d/D对于直径为d的实心圆截面对于内、外直径分别为d和D的圆环截面16π32π3P4PdWdI,161π321π43P44P－－DWDI,圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算受扭圆轴的强度设计准则圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算与拉压杆的强度设计相似，为了保证圆轴扭转时安全可靠地工作，必须将圆轴横截面上的最大剪应力max限制在一定的数值以下，即：,maxmaxp[]xMW这一关系式称为受扭圆轴的强度设计准则，或称圆轴扭转的强度条件。受扭圆轴的强度设计准则圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算,maxmaxp[]xMW[]为许用剪应力；max是指圆轴所有横截面上最大剪应力中的最大者，对于等截面圆轴，最大剪应力发生在扭矩最大的横截面上的边缘各点；对于变截面圆轴，如阶梯轴，最大剪应力不一定发生在扭矩最大的截面，这时需要根据扭矩Mx和相应扭转截面模量WP的数值综合考虑才能确定。圆杆扭转时的变形及刚度条件返回返回总目录第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算圆杆扭转时的变形及刚度条件第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算受扭圆轴的相对扭转角圆杆受扭矩作用时，dx微段的两截面绕轴线相对转动的角度称为相对扭转角PddxMxGIpddxllMxGI沿轴线方向积分，得到dxrOrC'D'dMxABCDPddxMxGIBlA圆杆扭转时的变形及刚度条件第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算受扭圆轴的相对扭转角对于两端承受集中扭矩的等截面圆轴，两端面的相对扭转角为：ABMeMePePGIlMGIlMxABpddxllMxGI圆杆扭转时的变形及刚度条件第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算BACDl1l2l3ABMe1Me2Me3Me4对于各段扭矩不等或截面极惯性矩不等的阶梯状圆轴，轴两端面的相对扭转角为：受扭圆轴的相对扭转角niiixiABGIlM1PpddxllMxGI圆杆扭转时的变形及刚度条件第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算AlBMemx=Me/l对于承受沿轴线方向均匀分布扭转力偶的圆轴，两端面的相对扭转角为：受扭圆轴的相对扭转角ABlxlxABxGIxmMxGIxM0Pe0PddxOxmMxMxxex圆杆扭转时的变形及刚度条件第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算单位长度的相对扭转角在很多情形下，两端面的相对扭矩角不能反映圆轴扭转变形的程度，因而更多采用单位长度扭转角表示圆轴的扭转变形，单位长度扭转角即扭转角的变化率。单位长度相对扭转角为：pddxMxGI圆杆扭转时的变形及刚度条件第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算受扭圆轴的刚度设计准则为了机械运动的稳定和工作精度，机械设计中要根据不同要求，对受扭圆轴的变形加以限制，亦即进行刚度设计。扭转刚度设计是将单位长度上的相对扭转角限制在允许的范围内，即必须使构件满足刚度设计准则或称刚度条件：xdd＝对于两端承受集中扭矩的等截面圆轴，刚度设计准则又可以写成：PxMθθGIAlBMemx=Me/lABxOBlAABMeMe圆杆扭转时的变形及刚度条件第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算受扭圆轴的刚度设计准则xdd＝其中，[]为单位长度上的许用相对扭转角，其数值根据轴的工作要求而定。例如，精密机械的轴[]＝(0.25~0.5)()／m；