2019年高考真题全国2卷文科数学(附答案解析)

绝密★启用前2019年普通高等学校招生统一考试文科数学试题卷一、单选题1．已知集合={|1}Axx−，{|2}Bxx=，则A∩B=A．(–1，+∞)B．(–∞，2)C．(–1，2)D．2．设z=i(2+i)，则z=A．1+2iB．–1+2iC．1–2iD．–1–2i3．已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，则|a–b|=A．2B．2C．52D．504．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A．23B．35C．25D．155．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙6．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=𝑒𝑥−1，则当x0时，f(x)=A．𝑒−𝑥−1B．𝑒−𝑥+1C．−𝑒−𝑥−1D．−𝑒−𝑥+17．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面8．若x1=4，x2=34是函数f(x)=sinx(0)两个相邻的极值点，则=A．2B．32C．1D．129．若抛物线y2=2px（p0）的焦点是椭圆2231xypp+=的一个焦点，则p=A．2B．3C．4D．810．曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为A．10xy−−−=B．2210xy−−−=C．2210xy+−+=D．10xy+−+=11．已知a∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A．15B．55C．33D．25512．设F为双曲线C：22221xyab−=（a0，b0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为A．2B．3C．2D．5二、填空题13．若变量x，y满足约束条件23603020xyxyy，，，+−+−−则z=3x–y的最大值是___________.14．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.15．VABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acosB=0，则B=___________.16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．三、解答题17．如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥11EBBCC−的体积．18．已知{}na是各项均为正数的等比数列，1322,216aaa==+.（1）求{}na的通项公式；（2）设2lognnba=，求数列{}nb的前n项和.19．某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.y的分组[0.20,0)−[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)企业数22453147（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01）附：748.602.20．已知12,FF是椭圆2222:1(0)xyCabab+=的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点．（1）若2POFV为等边三角形，求C的离心率；（2)如果存在点P，使得12PFPF⊥，且12FPF△的面积等于16，求b的值和a的取值范围.21．已知函数()(1)ln1fxxxx=−−−.证明：（1）()fx存在唯一的极值点；（2）()=0fx有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.22．在极坐标系中，O为极点，点000(,)(0)M在曲线:4sinC=上，直线l过点(4,0)A且与OM垂直，垂足为P.（1）当0=3时，求0及l的极坐标方程；（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.23．已知()|||2|().fxxaxxxa=−+−−（1）当1a=时，求不等式()0fx的解集；（2）若(,1)x−时，()0fx，求a的取值范围.参考答案1．C【解析】【分析】本题借助于数轴，根据交集的定义可得．【详解】由题知，(1,2)AB=−I，故选C．【点睛】本题主要考查交集运算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．易错点是理解集合的概念及交集概念有误，不能借助数轴解题．2．D【解析】【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得z，然后根据共轭复数的概念，写出z．【详解】2i(2i)2ii12iz=+=+=−+，所以12zi=−−，选D．【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求．部分考生易出现理解性错误．3．A【解析】【分析】本题先计算−ab，再根据模的概念求出||−ab．【详解】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)−=−=−ab，所以22||(1)12−=−+=ab，故选A【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．4．B【解析】【分析】本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解．【详解】设其中做过测试的3只兔子为,,abc，剩余的2只为,AB，则从这5只中任取3只的所有取法有{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,}abcabAabBacAacBaAB，{,c,},{,c,},{b,,},{c,,}bAbBABAB共10种．其中恰有2只做过测试的取法有{,,},{,,},{,,},{,,},abAabBacAacB{,c,},{,c,}bAbB共6种，所以恰有2只做过测试的概率为63105=，选B．【点睛】本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错．5．A【解析】【分析】利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A．【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．6．D【解析】【分析】先把x0，转化为-x0,代入可得𝑓(−𝑥)，结合奇偶性可得𝑓(𝑥).【详解】∵𝑓(𝑥)是奇函数，𝑥≥0时，𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−1．当𝑥0时，−𝑥0，𝑓(𝑥)=−𝑓(−𝑥)=−𝑒−𝑥+1，得𝑓(𝑥)=−𝑒−𝑥+1．故选D．【点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．7．B【解析】【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．【详解】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是//的充分条件，由面面平行性质定理知，若//，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是//的必要条件，故选B．【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若,,//abab，则//”此类的错误．8．A【解析】【分析】从极值点可得函数的周期，结合周期公式可得.【详解】由题意知，()sinfxx=的周期232()44T==−=，得2=．故选A．【点睛】本题考查三角函数的极值、最值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用方程思想解题．9．D【解析】【分析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p的方程，即可解出p，或者利用检验排除的方法，如2p=时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A，同样可排除B，C，故选D．【详解】因为抛物线22(0)ypxp=的焦点(,0)2p是椭圆2231xypp+=的一个焦点，所以23()2ppp−=，解得8p=，故选D．【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．10．C【解析】【分析】先判定点(,1)−是否为切点，再利用导数的几何意义求解.【详解】当x=时，2sincos1y=+=−，即点(,1)−在曲线2sincosyxx=+上．2cossin,yxx=−Q2cossin2,xy==−=−则2sincosyxx=+在点(,1)−处的切线方程为(1)2()yx−−=−−，即2210xy+−+=．故选C．【点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．11．B【解析】【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．【详解】2sin2cos21=+Q，24sincos2cos.0,,cos02=Q．sin0,2sincos=，又22sincos1+=，2215sin1,sin5==，又sin0，5sin5=，故选B．【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．12．A【解析】【分析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率．【详解】设PQ与x轴交于点A，由对称性可知PQx⊥轴，又||PQOFc==Q，||,2cPAPA=为以OF为直径的圆的半径，A为圆心||2cOA=．,22ccP，又P点在圆222xya+=上，22244cca+=，即22222,22ccaea===．2e=，故选A．【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．13．9.【解析】【分析】作出可行域，平移30xy−=找到目标函数取到最大值的点，求出点的坐标，代入目标函数可得.【详解】画出不等式组表示的可行域，如图所示，阴影部分表示的三角形ABC区域