平面向量知识点与考点精(经典)

1/20平面向量知识点与2013考点精讲知识网络向量的概念向量的运算向量的运用向量的加、减法实数与向量的积向量的数量积平面向量的基本定理及坐标表示向量的坐标运算物理学中的运用几何中的运用两向量平行的充要条件两向量垂直的充要条件向量的夹角向量的模两点间的距离2/203/20第1讲向量的概念与线性运算★知识梳理★1．平面向量的有关概念：（1）向量的定义：既有____大小又有方向_________的量叫做向量.（2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的____长度_____表示向量的大小，用_____箭头所指的方向____表示向量的方向.用字母a，b，…或用AB，BC，…表示.特别提醒：1)模：向量的长度叫向量的模，记作|a|或|AB|.2)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定.3)单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.4)共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线.5)相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.2．向量的线性运算1.向量的加法：（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.如图，已知向量a，b，奎屯王新敞新疆在平面内任取一点A，作ABa，BCb，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即a+bABBCAC特殊情况：ababa+bbaa+b(1)平行四边形法则三角形法则CBDCBAAaabbbabaAABBCC)2()3(对于零向量与任一向量a，有a00aa（2）法则：____三角形法则_______，_____平行四边形法则______（3）运算律：____a+b=b+a；_______，____（a+b）+c=a+（b+c）._______2.向量的减法：（1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法.减法的三角形法则作法：在平面内取一点O，作OA=a,OB=b,则BA=ab即ab可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量奎屯王新敞新疆4/20注意：1)AB表示ab奎屯王新敞新疆强调：差向量“箭头”指向被减数2)用“相反向量”定义法作差向量，ab=a+(-b)显然，此法作图较繁，但最后作图可统一奎屯王新敞新疆a∥b∥cab=a+(b)ab3.实数与向量的积：（1）定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，规定：|λa|=|λ||a|.当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0.（2）运算律：λ（μa）=（λμ）a，（λ+μ）a=λa+μa，λ（a+b）=λa+λb.特别提醒：1)向量的加、减及其与实数的积的结果仍是向量。2)重要定理：向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b=λa，即b∥ab=λa（a≠0）.向量★重难点突破★1.重点：理解向量及与向量相关的概念，掌握向量的几何表示，掌握向量的加法与减法，会正确运用三角形法则、平行四边形法则．2.难点：掌握向量加法的交换律、结合律，并会用它们进行向量化简与计算．3.重难点：.问题1:相等向量与平行向量的区别答案：向量平行是向量相等的必要条件。问题2:向量平行（共线）与直线平行（共线）有区别答案：直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况。问题3：对于两个向量平行的充要条件：a∥ba=λb，只有b≠0才是正确的.而当b=0时，a∥b是a=λb的必要不充分条件.问题4；向量与有向线段的区别：（1）向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段5/20【新题导练】题型1.概念判析[例1]判断下列各命题是否正确(1)零向量没有方向(2)若baba则,(3)单位向量都相等(4)向量就是有向线段(5)两相等向量若共起点,则终点也相同(6)若ba，cb，则ca；(7)若barr//，cb//，则ca//(8)若四边形ABCD是平行四边形,则DABCCDB,A(9)ba的充要条件是||||ba且ba//；[解题思路]：正确理解向量的有关概念，以概念为判断依据，或通过举反例说明。解析：解：(1)不正确，零向量方向任意,(2)不正确，说明模相等,还有方向(3)不正确，单位向量的模为1,方向很多(4)不正确，有向线段是向量的一种表示形式(5)正确，（6）正确，向量相等有传递性（7）不正确，因若0b，则不共线的向量ca,也有0//a，c//0。(8)不正确,如图DABCCDB,A（9）不正确，当ba//，且方向相反时，即使||||ba，也不能得到ba；【名师指引】对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从通过举出反例而排除或否定相关命题。考点一：向量及与向量相关的基本概念1.【2012高考浙江文7】设a，b是两个非零向量。A.若|a+b|=|a|-|b|，则a⊥bB.若a⊥b，则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得b=λaD.若存在实数λ，使得b=λa，则|a+b|=|a|-|b|【答案】C【命题意图】本题考查的是平面向量，主要考查向量加法运算，向量的共线含义，向量的垂直关系。【解析】利用排除法可得选项C是正确的，∵|a＋b|＝|a|－|b|，则a，b共线，即存在实数λ，使得a＝λb．如选项A：|a＋b|＝|a|－|b|时，a，b可为异向的共线向量；选项B：若a⊥b，由正方形得|a＋b|＝|a|－|b|不成立；选项D：若存在实数λ，使得a＝λb，a，b可为同向的共线向量，此时显然|a＋b|＝|a|－|b|不成立．2.【2012高考四川文7】设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使||||abab成立的充分条件是（）A、||||ab且//abB、abC、//abD、2ab【答案】Ｄ6/20[解析]若使||||abab成立，则方向相同，与ba选项中只有D能保证，故选D.[点评]本题考查的是向量相等条件模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量，其模为0且方向任意.考点二:向量的加、减法【指引】掌握向量加减的定义及向量加法的交换律、结合律等基础知识．在求解时需将杂乱的向量运算式有序化处理，必要时也可化减为加，减低出错律．题型2:结合图型考查向量加、减法3.(2009)在ABC所在的平面上有一点P，满足PAPBPCAB，则PBC与ABC的面积之比是()A．13B．12C．23D．34[解题思路]：本题中的已知向量都集中体现在三角形中．为此，可充分利用向量加减法的三角形法则实施求解．【解析】由PAPBPCAB,得PAPBBAPC0,即2PCAP,所以点P是CA边上的第二个三等分点,如图所示.故23PBCABCSBCPCSBCAC．【名师指引】三角形中两边对应向量已知，可求第三边所对应的向量．值得注意的是，向量的方向不能搞错．当向量运算转化成代数式运算时，其运算过程可仿照多项式的加减运算进行．4．如图，在ΔABC中，D、E为边AB的两个三等分点，CA→=3a，CB→=2b，求CD→，CE→．解析：AB→=AC→+CB→=－3a+2b，因D、E为AB→的两个三等分点，故AD→=31AB→=－a＋32b=DE→，CD→=CA→＋AD→=3a－a＋32b=2a＋32b，CE→=CD→＋DE→=2a＋32b－a＋32b=a＋34b．考点三:向量数乘运算及其几何意义题型1:三点共线问题[例4]设21,ee是不共线的向量,已知向量2121212,3,2eeCDeeCBekeAB,若A,B,D三点共线,求k的值[解题思路]：证明存在实数，使得BDABABCDEBCAP5-1-27/20解析：214eeCBCDBD,使BDAB)4(22121eeeke得84,2kk【指引】1、逆向应用向量加法运算法则，使得本题的这种证法比其他证法更简便，值得一提的是，一个向量拆成两个向量的和，一定要强化目标意识．2、这是一个重要结论，要牢记。题型2:用向量法解决几何问题基础巩固训练1.判断下列命题是否正确，并说明理由：（1）共线向量一定在同一条直线上。（）（2）所有的单位向量都相等。（）（3）向量ba与共线，cb与共线，则ca与共线。（）（4）向量ba与共线，则b//a（）（5）向量CD//AB，则CD//AB。（）（6）平行四边形两对边所在的向量一定是相等向量。（）2.在四边形ABCD中，“AB→＝2DC→”是“四边形ABCD为梯形”的A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件3．已知向量12112b,a,,0lllRl，若向量ba和共线，则下列关系一定成立的是（）A、0B、02lC、12//llD、02l或04．．D、E、F分别是△ABC的BC、CA、AB上的中点，且aBC，bCA，给出下列命题，其中正确命题的个数是（）8/20ABCD①baAD21②baBE21③baCF2121④0CFBEADA、1B、2C、3D、45．已知：2121212CD,BC),(3eeeeeeAB，则下列关系一定成立的是（）A、A，B，C三点共线B、A，B，D三点共线C、C，A，D三点共线D、B，C，D三点共线6．若||||OAOBOAOB则向量,OAOB的关系是（）A．平行B．重合C．垂直D．不确定综合拔高训练7．如图，已知,,3ABaACbBDDC，用,ab表示AD，则AD（）A．34abB．1344abC．1144abD．3144ab答案：B解析：33()44ADABBDABBCABACAB1344ab8．已知a+b=213ee，a-b=212ee，用1e、2e表示a=。答案：2121ee9．已知212213)12(,)1(eetbeketa，且ba//，试求t关于k的函数。答案:22211kkt10．如图，在△OAB中，OAOC41，OBOD21，AD与BC交于M点，设aOA，bOB，（1）试用a和b表示向量OM（2）在线段AC上取一点E，线段BD上取一点F，使EF过M点，设OAOE，OBOF。求证：17371。9/20第2讲平面向量的基本定理与坐标表示★知识梳理★1．平面向量基本定理：如果1e，2e是同一平面内的两个_____不共线_____不共线向量，那么对于这一平面内的__任一__向量a，有且只有_一对实数λ1，λ2使a=λ11e+λ22e特别提醒：(1)我们把不共线向量1e、2e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a在给出基底1e、2e的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一奎屯王新敞新疆λ1，λ2是被a，1e，2e唯一确定的数量2．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个__单位向量_i、j作为基底奎屯王新敞新疆任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得axiyj…………○1，我们把),(yx叫做向量a的（直角）坐标，记作(,)axy…………○2其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示奎屯王新敞新疆与．a相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(yx奎屯王新敞新疆特别地，(1,0)i，(0,1)j，0(0,0)奎屯王新敞新疆特别提醒：设yjxiOA，则向量OA的坐标),(yx就是点A的坐标；反过来，点A的坐标),(yx也就是向量OA的坐标奎屯王新敞新疆因此，在平