第1讲-相交线与三线八角

数学教研组编写七年级春季人教版课件第一讲相交线与三线八角01认知框架图相交线与三线八角辨析·易错题辨析对三线八角的认识不清训练·巩固题凝炼·题型库凝炼一邻补角、对顶角的计算凝炼二凝炼三与邻补角、对顶角有关的探究垂线的画法凝炼四垂线定义的应用凝炼五识别三线八角02凝炼题型库凝炼一邻补角、对顶角的计算【例1】已知∠1与∠2互为对顶角，∠2与∠3互余，若∠3＝45°，则∠1的度数是()A．45°B．90°C．135°D．45°或135°【答案】A【例2】如图所示，直线AB与CD相交于点O，OB平分∠DOE，若∠DOE＝60°，则∠AOE的度数是()A．90°B．150°C．180°D．不能确定ABCDEO【答案】B要点归纳：此类题目考查邻补角及对顶角的概念和性质，解决这类问题要熟记邻补角互补、对顶角相等．【变1】如图，直线AB、CD相交于点O，若∠1＋∠2＝120°，则∠AOD＝()A．120°B．130°C．140°D．150°ABCDO12【答案】A【变2】如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．（1）若∠AOC＝70°，∠DOF＝90°，求∠EOF的度数；（2）若OF平分∠COE，∠BOF＝15°，若设∠AOE＝x，①用含x的式子表示∠EOF；②求∠AOC的度数．ABCDEFO【答案】解：（1）由对顶角相等可知：∠BOD＝∠AOC＝70°，∵∠FOB＝∠DOF－∠BOD，∴∠FOB＝90°－70°＝20°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE＝12∠BOD＝12×70°＝35°，∴∠EOF＝∠FOB＋∠BOE＝35°＋20°＝55°；（2）①∵OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠DOE，∵∠BOE＋∠AOE＝180°，∠COE＋∠DOE＝180°，∴∠COE＝∠AOE＝x，∵OF平分∠COE，∴∠FOE＝12x；②∵∠BOE＝∠FOE－∠FOB，∴∠BOE＝12x－15°，∵∠BOE＋∠AOE＝180°，∴12x－15°＋x＝180°，解得：x＝130°，∴∠AOC＝2∠BOE＝2×(180°－130°)＝100°．凝炼二与邻补角、对顶角有关的探究【例3】如图，直线AB，CD，EF相交于点O．（1）请找出图中∠AOC的邻补角；（2）此图形可拆分成哪几种直线两两相交的情况？（3）－共有多少对邻补角？ABCDEFO【答案】（1）∠AOC的邻补角有∠AOD和∠BOC．（2）可拆分成AB与CD相交，AB与EF相交，CD与EF相交．（3）－共有12对邻补角．要点归纳：当n条直线相交于一点时，形成2n(n－1)对邻补角．【变3】如图所示，直线AB，CD，EF相交于点O．（1）指出∠AOC，∠EOB的对顶角；（2）图中一共有几对对顶角？（3）当n条直线相交于一点时，形成多少对对顶角？ABCDEFO【答案】（1）∠DOB，∠AOF；（2）6对；（3）n(n－1)凝炼三垂线的画法【例4】如图所示，直线AB、CD相交于点O，Q是CD上的一点．（1）过点Q画AB的垂线，E是垂足；（2）过点Q画CD的垂线，交AB于点F．ABCDOQ【答案】如图ABCDOQEF要点归纳：过一点画已知直线的垂线有两种方法：（1）用三角板画垂线：①用三角尺一条直角边落在已知直线上；②移动三角尺使已知点落在它的另一条直角边上；③沿着这条直角边画线．（2）用量角器画垂线：①将量角器的0°刻度线与已知直线重合；②使量角器的90°刻度线经过已知点，再在90°刻度线上取另一点；③用量角器的直边连接已知点和另一点．【变4】如图所示，请完成下列各题：（1）画线段AD，使AD⊥BC，垂足为D；（2）过C画AB的垂线CE，垂足为E；（3）A到直线CE的距离是线段_______的长度；（4）比较线段AE与AC的长短，并说明理由．ABC【答案】（1）（2）答案如图；（3）AE；（4）AC＞AE，垂线段最短ABCDE凝炼四垂线定义的应用【例5】如图，直线BC，DE相交于点O，AO⊥BC于点O，OM平分∠BOD，如果∠AOE＝50°，那么∠BOM的度数是()A．20°B．25°C．40°D．50°ABCDEMO【答案】A【例6】如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．已知∠DOE＝2∠AOC，求证：OE⊥CD．ABCDEO【答案】证明：∵∠DOE＝2∠AOC，OA平分∠EOC，∴∠DOE＝∠EOC，又∠DOE＋∠EOC＝180°，∴∠DOE＝∠EOC＝90°，∴OE⊥CD(垂直的定义)．要点归纳：当题目中出现比值或倍数关系时，可以用一个量表示另一个量，经过推导求解；也可以考虑设未知数，然后通过一个等量关系列出关于未知数的方程，从而解决问题．【变5】如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．（1）若∠AOC＝60°，求∠BOE的度数；（2）若OF平分∠AOD，试说明OE⊥OF．ABCDEFO【答案】解：（1）∵直线AB、CD相交于点O，∴∠BOD＝∠AOC＝60°，又∵OE平分∠BOD，∴∠BOE＝12∠BOD＝30°；（2）∵OF平分∠AOD，∴∠DOF＝12∠AOD，又∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝12∠BOD，∴∠EOF＝∠DOF＋∠DOE＝12(∠AOD＋∠BOD)＝12×180°＝90°．∴OE⊥OF．【变6】如图，O是直线AB上一点，∠AOD＝120°，CO⊥AB于点O，OE平分∠BOD，试说明OD平分∠COE．ABCDEO【答案】因为CO⊥AB，所以∠AOC＝90°．因为∠AOD＝120°，所以∠COD＝∠AOD－∠AOC＝30°，∠BOD＝180°－∠AOD＝60°．又因为OE平分∠BOD，所以∠EOD＝30°，所以∠COD＝∠EOD，即OD平分∠COE．凝炼五识别三线八角【例7】如图所示，下列说法中错误的是()A．∠A和∠3是同位角B．∠2和∠3是同旁内角C．∠A和∠B是同旁内角D．∠C和∠1是内错角ABC123【答案】B【例8】如图，如果∠1＝40°，∠2＝100°，那么∠3的同位角等于_______，∠3的内错角等于_______，∠3的同旁内角等于_______．123【答案】80°；80°；100°要点归纳：要在一个复杂的图形中确定“三线八角”，先在复杂的图形中分离出“三线”．一般是从相邻的两个顶点处的角入手，其中两个角的公共边或在同一直线上的边所在的直线是截线，另一边所在的直线是被截直线，然后根据角的位置关系来进一步判断．【变7】如图，在所标识的角中，下列说法不正确的是()A．∠1与∠2是同旁内角B．∠1与∠4是内错角C．∠3与∠5是对顶角D．∠2与∠3是邻补角12345【答案】B【变8】如图，按各组角的位置判断，下列结论：①∠2与∠6是内错角；②∠3与∠4是内错角；③∠5与∠6是同旁内角；④∠1与∠4是同旁内角．其中正确的是()A．①②B．②③④C．①②④D．①②③④123456ABCDEF【答案】C03辨析易错题辨析对三线八角的认识不清【例】如图所示，∠1的同位角有____________．132ABCDEFNM【答案】∠2和∠EMD易错分析找同位角、内错角、同旁内角时，要找准截线和被截直线，分清两角之间的位置关系，做到不重不漏．【变】如图，下列结论正确的是()A．∠5与∠2是对顶角B．∠1与∠3是同位角C．∠2与∠3是同旁内角D．∠1与∠2是同旁内角12345【答案】D