不等式恒成立问题教案

环球教育学校教务处监制1教师：学生：时间:2018年2月日时段：高中一、授课目的与考点分析：授课目的：在近些年的数学高考题及高考模拟题中经常出现恒成立问题，这样的题目一般综合性强，可考查函数、数列、不等式及导数等诸多方面的知识。同时，培养学生分析问题、解决问题、综合驾驭知识的能力。本人根据高考题及高考模拟题总结了四种常见的解决不等式恒成立问题的方法。法一：转换主元法。适用于一次型函数。法二：化归二次函数法。适用于二次型函数。法三：分离参数法。适用于一般初等函数。法四：数型结合法。二、授课内容不等式恒成立问题1)一、常见类型1.1.恒成立问题若不等式fxA在区间D上恒成立,则等价于在区间D上minfxA若不等式fxB在区间D上恒成立,则等价于在区间D上maxfxB22.能成立问题若在区间D上存在实数x使不等式fxA成立,则等价于在区间D上maxfxA；若在区间D上存在实数x使不等式fxB成立,则等价于在区间D上的minfxB.33.恰成立问题若不等式fxA在区间D上恰成立,则等价于不等式fxA的解集为D；若不等式fxB在区间D上恰成立,则等价于不等式fxB的解集为D.二、四种常见的方法法一：转换主元法。适用于一次型函数。法二：化归二次函数法。适用于二次型函数。法三：分离参数法。适用于一般初等函数。法四：数型结合法。在近些年的数学高考题及高考模拟题中经常出现恒成立问题，这样的题目一般综合性强，可考查函数、数列、不等式及导数等诸多方面的知识。同时，培养学生分析问题、解决问题、综合驾驭知识的能力。在解综合性较强的恒成立问题时，有时一题多法。所以以题为本，关键抓住恒成立的实质，具体问题具体分析，不拘泥于一种方法。三、函数型恒成立在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。恒成立问题的基本类型：类型1：设)0()(2acbxaxxf，（1）Rxxf在0)(上恒成立00且a；（2）Rxxf在0)(上恒成立00且a。类型2：设)0()(2acbxaxxf（1）当0a时，],[0)(xxf在上恒成立0)(2020)(2fababfab或或，],[0)(xxf在上恒成立0)(0)(ff（2）当0a时，],[0)(xxf在上恒成立0)(0)(ff环球教育个性化辅导教案提纲ggggggggggggangganggang纲环球教育学校教务处监制2],[0)(xxf在上恒成立0)(2020)(2fababfab或或类型3：min)()(xfIxxf恒成立对一切max)()(xfIxxf恒成立对一切。类型4：)()()()()()()(maxminIxxgxfxgxfIxxgxf的图象的上方或的图象在恒成立对一切恒成立问题的三、例题分析：1．转换主元法确定题目中的主元，化归成初等函数求解。此方法通常化为一次函数。例1：若不等式2x－1m(x2-1)对满足－2m2的所有m都成立，求x的取值范围。解：原不等式化为(x2－1)m－(2x－1)0记f(m)=(x2－1)m－(2x－1)(－2m2)根据题意有：01)-(2x-1)-2(xf(2)01)-(2x-1)--2(xf(-2)22即：01-2x2x03-2x2x22解之：得x的取值范围为231x271变式练习1-1对于满足|p|2的所有实数p,求使不等式x2+px+12p+x恒成立的x的取值范围。分析：在不等式中出现了两个字母：x及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将p视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。略解：不等式即(x-1)p+x2-2x+10,设f(p)=(x-1)p+x2-2x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于0，故有：)2(0)2(ff即0103422xxx解得：1113xxxx或或∴x-1或x3.2．化归二次函数法根据题目要求，构造二次函数。结合二次函数实根分布等相关知识，求出参数取值范围。例2：在R上定义运算：xy＝x(1－y)，若不等式(x－a)(x＋a)1对任意实数x成立，则()(A)－1a1(B)0a2(C)2321a(D)3122a解：由题意可知(x-a)[1-(x+a)]1对任意x成立即x2-x-a2+a+10对xR恒成立记f(x)=x2-x-a2+a+1，则应满足(-1)2-4(-a2+a+1)0化简得4a2-4a-30解得2321a,故选择C。例3：若不等式x2-2mx+2m+10对满足0x1的所有实数x都成立，求m的取值范围。环球教育学校教务处监制3解：设f(x)=x2-2mx+2m+1本题等价于函数f(x)在0x1上的最小值大于0，求m的取值范围。(1)当m0时，f(x)在[0,1]上是增函数，因此f(0)是最小值，解012mf(0)0m得21m0(2)当0m1时，f(x)在x=m时取得最小值解012m-mf(m)1m02得0m1(3)当m1时，f(x)在[0,1]上是减函数，因此f(1)是最小值解02f(1)1m得m1综合(1)(2)(3)得21m注：当化归为二次函数后，自变量是实数集的子集时，应用二次函数知识解决有时较繁琐。此型题目有时也可转化为后面的法3求解。变式练习2-1设f(x)=x2-2ax+2,当x[-1,+)时，都有f(x)a恒成立，求a的取值范围。分析：题目中要证明f(x)a恒成立，若把a移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[-1,+)时恒大于0的问题。解：设F(x)=f(x)-a=x2-2ax+2-a.ⅰ)当=4（a-1)(a+2)0时，即-2a1时，对一切x[-1,+)，F(x)0恒成立；ⅱ）当=4（a-1)(a+2)0时由图可得以下充要条件：,1220)1(0af即,1030)2)(1(aaaa得-3a-2;综合可得a的取值范围为[-3，1]。变式练习2-2关于x的方程9x+(4+a)3x+4=0恒有解，求a的范围。分析：题目中出现了3x及9x，故可通过换元转化成二次函数型求解。解法1（利用韦达定理）：设3x=t,则t0.则原方程有解即方程t2+(4+a)t+4=0有正根。040)4(02121xxaxx即4016)4(2aa480aaa或解得a-8.3．分离参数法在题目中分离出参数，化成af(x)（af(x)）型恒成立问题，再利用afmax(x)（afmin(x)）求出参数范围。例5已知当xR时，不等式a+cos2x5-4sinx+45a恒成立，求实数a的取值范围。-1oxy环球教育学校教务处监制4分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知（xR），另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离。解：原不等式即：4sinx+cos2x45a-a+5要使上式恒成立，只需45a-a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值问题。f(x)=4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2(sinx-1)2+33,∴45a-a+53即45aa+2上式等价于2)2(4504502aaaa或04502aa解得54a8.注：注意到题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x,故若把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。变式练习3-1、当)2,1(x时，不等式042mxx恒成立，则m的取值范围是.解析:当(1,2)x时，由240xmx得24xmx.令244()xfxxxx，则易知()fx在(1,2)上是减函数，所以[1,2]x时()(1)5maxfxf，则2min4()5xx∴5m.变式训练3-2：已知向量a=(x2,x+1),b=(1-x,t)若函数f(x)＝a·b在区间(－1，1)上是增函数，求t的取值范围。解：依题意，f(x)＝x2(1-x)+(x+1)t=-x3+x2+tx+t则f＇(x)=-3x2+2x+t∵f(x)在(－1，1)上是增函数，则在(－1，1)上有f＇(x)0即-3x2+2x+t0在x(-1，1)上恒成立设g(x)=3x2-2x∴tg(-1)即t54.数型结合法例6：如果对任意实数x，不等式kx1x恒成立，则实数k的取值范围是1k0解析：画出y1=1x,y2=kx的图像，由图可看出0k1K=1环球教育学校教务处监制5例7：已知a0且a1,当x(-1，1)时，不等式x2-ax21恒成立，则a的取值范围2,11,21解析：不等式x2-ax21可化为axx2-21画出y1=ax,y2=x2-21的图像。由图可看出21a1或1a2变式练习4-1若不等式axx34的解集为空集，求实数a的范围。(结论：1a)变式练习4-2若不等式axx34的解集为R，求实数a的范围。(结论：1a)变式练习4-3若不等式aaxx1的解集为R，求实数a的范围。(结论：21a)在解综合性较强的恒成立问题时，有时一题多法。所以以题为本，关键抓住恒成立的实质，具体问题具体分析，不拘泥于一种方法。四、学生对于本次课的评价：○特别满意○满意○一般○差五、教师评定：1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差2、学生本次上课情况评价：○好○较好○一般○差上次作业完成情况：课堂表现情况：知识点掌握情况：学生签字：___________环球教育学校教务处签字：1