正弦定理(一)

听课记录课题：正弦定理（一）教者：谢宝明【教学过程简记】（一）创设情境:问题1、在建设水口电站闽江桥时,需预先测量桥长AB,于是在江边选取一个测量点C,测得CB=435m,∠CBA=088,∠BCA=042。由以上数据，能测算出桥长AB吗？这是一个什么数学问题?引出课题：“正弦定理（二）猜想、实验：1、发散思维，提出猜想：从定量的角度考察三角形中的边角关系，猜想可能存在哪些关系？2、研究特例，提炼猜想：考察等边三角形、特殊直角三角形的边角关系，提炼出a\sinA=b\sinB=c\sinC。3、实验验证，完善猜想：这一关系式在任一三角形中是否成立呢？请学生以量角器、刻度尺、计算器为工具，对一般三角形的上述关系式进行验证，教师用几何画板演示。在此基础上，师生一起得出猜想，即在任意三角形中，有a\sinA=b\sinB=c\sinC。（三）证明探究：对此猜想，据以上直观考察，我们感情上是完全可以接受的，但数学需要理性思维。如何通过严格的数学推理，证明正弦定理呢？1、特殊入手，探究证明：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,090C，根据锐角的正弦函数的定义，有sinaAc，sinbBc，又sin1cCc,则sinsinsinabccABC，从而在直角三角形ABC中，sinsinsinabcABC。2、推广拓展，探究证明：问题2：在锐角三角形ABC中，如何构造、表示“a与Asin、b与sinB”的关系呢？探究1：能否构造直角三角形，将问题化归为已知问题？图1图2图3图4探究2：能否引入向量，归结为向量运算？（1）图2中蕴涵哪些向量关系式？学生探究，师生、生生之间交流讨论，得,,0,CACBABCABCABACBCAB（这三个式子本质上是相同的）,0BCAD等,（2）如何将向量关系转化为数量关系？(施以什么运算?)（3）可取与哪些向量的数量积运算？探究3：能否引入向量的坐标形式，把向量关系转化为代数运算？（1）如图4，建立直角坐标系，可得：A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA),（2）向量BC的坐标=？（bcosA-c，bsinA）（3）哪一点的坐标与向量BC的坐标相同？由三角函数的定义，该点的坐标又为多少？根据平行四边形法则，D（)180sin(),180cos(00BaBa），从而建立等量_c_b_a_a_C(bcosA,bsinA)_D(acos(-B),asin(-B))_B(c,0)关系：bcosA－c=),180cos(0BabsinA=)180sin(0Ba,整理，得c=bcosA+acosB（这其实是射影定理），a/sinA=b/sinB，同理可得a/sinA=c/sinC。问题3：钝角三角形中如何推导正弦定理？（留做课后作业）（四）理解定理、基本应用：1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即问题4、定理结构上有什么特征，有哪些变形式？（1）从结构看：各边与其对角的正弦严格对应，成正比例，体现了数学的和谐美。（2）从方程的观点看：每个方程含有四个量，知三求一。从而知正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如BAbasinsin；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinsinaABb。2、例题分析例1．在ABC中，已知032.0A，081.8B，42.9acm，解三角形。评述：定理的直接应用，对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。例2．在ABC中，已知040,28,20Acmbcma，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm）。3、课堂练习：（1）、引题（问题1）（2）、在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件（五）课堂小结：请同学们用一句话表述学习本课的收获和感受。（六）作业布置：书面作业：P10习题1.11、2【课后点评】本课通过精心设计“发现和解决问题”的过程，注重讲背景、讲过程、讲应用，引导学生主动学习、勇于探索。首先从具体问题情境CcBbAasinsinsin出发，在教师的指导下，结合学生的已有知识经验，通过自主学习，进行发散式猜想与探究判断，去伪存真，提炼猜想，并通过实验验证，完善猜想。其次，在定理证明阶段，通过新旧知识的连接点设问，搭建知识脚手架，让学生展开联想，力求引导学生寻找合理的知识方法（如本课知识生长点：三角函数与平面向量两大工具），进行自主性的活动与尝试，进一步拓展学生知识链。