§3.2.2--分式不等式与高次不等式的解法

§3.2.2分式不等式与高次不等式的解法分式不等式的概念分母中含有未知数的不等式叫作分式不等式。各种分式不等式经过同解变形，都可以化成标准形式)0(0)()()0(0)()(xgxfxgxf或)0)()(),((xgxgxf为整式且其中试解不等式：分析：当且仅当分子与分母同号时，上述不等式成立.因此或不等式组(1)的解集是，不等式组(2)的解集是所以，原不等式的解集为10.32xx1x32x10,1320;xx10,2320.xx2(,)3(,1)2(,1)(,).3试解不等式：分析：当且仅当分子与分母同号时，上述不等式成立，而两个数的商与积同号.因此，上述不等式可转化为所以，原不等式的解集为整式不等式10.32xx1x32x0)23)(1(xx2(,1)(,).3解法比较分类讨论转化（化归）不等式繁简需要解两个不等式组，再取这两个不等式组解集的并集通过等价转换，变成我们熟悉的、已经因式分解好了整式不等式C10.32xx?思考：不等式的解所以，原不等式的解集为1032xx1032xx2,1,.3解：(1)(32)0xx320x分式不等式分式不等式的等价变形：)()(xgxf)()(xgxf0)(0)()(xgxgxf0f(x)·g(x)0，≥0)()(xgxf)()(xgxf0f(x)·g(x)0，≤00)(0)()(xgxgxf同理有：例：解不等式1121xx1121xx解：0122012201121xxxxxx所以原不等式的解集为:}221|{xxx或0120201202xxxx或0120201202xxxx或0120)12)(2(xxx求解分式不等式时每一步的变换必须都是等价变换！0)(0)(0)(0)(0)(0)()(0)()(xgxfxgxfxgxgxfxgxf或Ⅰ.解分式不等式重要的是等价转化，尤其是含“≥”或“≤”转换。0)(0)(0)(0)(0)()(0)()(xgxfxgxfxgxfxgxf或练一练：1.2.0233xx134xx一元高次不等式的解法不等式最高次项的次数高于2时，这样的不等式称为高次不等式探究：解不等式(x-1)(x-2)(x-3)0令y=(x-1)(x-2)(x-3),则y=0的三个根分别为1,2,3.如图,在数轴上标出3个实根,123将数轴分为四个区间,自右向左依次标上“+”，“-”，图中标”+”号的区间即为不等式y0的解集.即不等式(x-1)(x-2)(x-3)0的解集为{x1x2或x3}.++--总结:此法为穿针引线法.在解高次不等式与分式不等式中简洁明了,可迅速得出不等式的解集.用“穿针引线法”解简单高次不等式的步骤：（1）整理。先将不等式化成标准形式，即一端为0，另一端为一次（或二次）因式的积的形式。注意各因式中x的系数一定为正数（2）标根。求出各因式的根，并在数轴上从小到大依次标出。（3）穿线。用一条曲线由右上方开始从右到左，从上到下依次穿过各根相应的点，注意偶次重根穿而不过，奇次重根照样穿过，即“奇穿偶不穿”。（4）写解集。在数轴上方的曲线所对应的区间是不等式大于0的解集；在数轴下方的曲线所对应的区间是不等式小于0的解集例：解不等式0322322xxxx0322322xxxx解：)2(22)1(22032023032023xxxxxxxx或以下过程同学来完成原不等式的解集就是上面的两个不等式组的解集的并集不等式组（1）的解集是}3211|{xxx或不等式组（2）的解集是由此可知，原不等式的解集是}3211|{xxx或0322322xxxx：解0)3)(1()2)(1(xxxx0)3)(2)(1)(1(xxxx由穿针引线法可得原不等式的解集为:}3211|{xxx或例：解不等式0322322xxxx+-1123-++-ooooⅡ.分式不等式等价变形后，如果是高次不等式，应结合穿针引线法求解！注意点:012)2)(1(:)1(xxx012)2)(1(:)2(xxx012)2()1(:)3(32xxx（1）x的系数必须是正数；（2）分清空实点；（3）奇穿偶不穿。练一练：232532xxx解：232532xxx0232532xxx0321222xxxx0)1)(3()1)(12(xxxx所以原不等式的解集为:}12113|{xxx或0)1)(3(0)1)(3)(1)(12(xxxxxx-3-11/21-+++-oo例：解关于x的不等式:)(02Raaxax(1)当a2a,即：a1或a0时,解集为：{x|axa2}（2）当a2=a即：a=0或a=1时，解集为：（3）当a2a即:0a1时,解集为:{x|a2xa}综上：(1)当a1或a0时,原不等式解集为：{x|axa2}}（2）当a=0或a=1时，原不等式解集为：（3）当0a1时,原不等式解集为:{x|a2xa}解：原不等式可变为：（x-a）（x-a2）001xxa练一练：移项通分解不等式0]2)1)[(2(02)2()1(12)1(axaxxaxaxxa解：0)12)(2(1aaxxa时有当1o11112aaa此时∴原不等式解集为：}122|{aaxxx或2)1(12)1(axxa例4:解关于x的不等式：)1(12)1(axxa例4:解关于x的不等式：0]2)1)[(2(axax解：0)12)(2(1aaxxa时有当2o,10,212时即若aaa解集为：}122|{aaxx,0,212时即若aaa解集为：,0,212时即若aaa解集为：}212|{xaax综上：(1)当a1时,原不等式的解集为：}122|{aaxxx或}122|{aaxx}212|{xaax(2)当0a1时,原不等式的解集为：(3)当a=0时,原不等式的解集为：(4)当a0时,原不等式解集为：小结：１．本题对a实施了两次讨论，第一次就“a1,a1”分类讨论，第二次在“a1”的前提下，又就与2的关系进行分类讨论。２．解含字母的分式不等式：①必须分清对字母分类讨论的依据②字母取不同范围的数得到不同的解集都必须全部写出来。练一练：12xax课堂小结1、主要的数学思想：等价转化、分类讨论2、分式不等式的主要类型及其等价转化：0)(0)(0)(0)(0)(0)()(0)()(xgxfxgxfxgxgxfxgxf或0)(0)(0)(0)(0)()(0)()(xgxfxgxfxgxfxgxf或3、运用“穿针引线法”解分式不等式时的注意点：(1)x的系数必须是正数(2)分清空实点(3)奇穿偶不穿。4、解含有字母的分式不等式必须分清：必须分清对字母分类讨论的依据；最后要下结论。再见作业：的不等式：、解关于x1323xx1132xx232532xxxaxx2110xx⑴⑵⑶⑷⑸的解集。求不等式或的解为的不等式、已知关于0))((,3210))((2bxaxcxxxcxbxaxx