含参不等式恒成立问题

含参不等式恒成立问题1/7专题课含参不等式恒成立问题－－参数取值范围求解策略知识梳理:“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。(一)、判别式法：●若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。【类型1】:一般地，对于二次函数),0()(2Rxacbxaxxf,有(1）0)(xf对Rx恒成立00a;(2）0)(xf对Rx恒成立.00a【类型2】：设)0()(2acbxaxxf（1）当0a时，()0[,]fxx在上恒成立0)(2020)(2fababfab或或，],[0)(xxf在上恒成立0)(0)(ff（2）当0a时，],[0)(xxf在上恒成立0)(0)(ff],[0)(xxf在上恒成立0)(2020)(2fababfab或或含参不等式恒成立问题2/7例1．已知函数2lg[(1)(1)1]yaxax的定义域为R，求实数a的取值范围。例2．一元二次不等式220xbx在1,2上恒成立，求实数b的取值范围。[答案3b](二)、最值法：●将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：(1）axf)(恒成立min)(xfa(2）axf)(恒成立max)(xfa例3．已知xxxxgaxxxf4042)(,287)(232，当]3,3[x时，)()(xgxf恒成立，求实数a的取值范围。答案),45[含参不等式恒成立问题3/7例4．函数),1[,2)(2xxaxxxf，若对任意),1[x，0)(xf恒成立，求实数a的取值范围。答案:3a(三)、分离变量法：(参变分离法)●若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：(1）为参数）aagxf)(()(恒成立max)()(xfag(2）为参数）aagxf)(()(恒成立max)()(xfag实际上，上题就可利用此法解决。略解：022axx在),1[x时恒成立，只要xxa22在),1[x时恒成立。而易求得二次函数xxxh2)(2在),1[上的最大值为3，所以3a。例5．已知函数]4,0(,4)(2xxxaxxf时0)(xf恒成立，求实数a的取值范围。[答案:)0,(]注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。含参不等式恒成立问题4/7（四）、变换主元法：●处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。例6、若不等式)1(122xmx对满足22m的所有m都成立，求x的范围。解析：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式化为：0)12()1(2xxm，；令)12()1()(2xxmmf，则22m时，0)(mf恒成立，所以只需0)2(0)2(ff即0)12()1(20)12()1(222xxxx，所以x的范围是)231,271(x。练习：对任意]1,1[a，不等式024)4(2axax恒成立，求x的取值范围。分析：题中的不等式是关于x的一元二次不等式，但若把a看成主元，则问题可转化为一次不等式044)2(2xxax在]1,1[a上恒成立的问题。解：令44)2()(2xxaxaf，则原问题转化为0)(af恒成立（]1,1[a）。当2x时，可得0)(af，不合题意。当2x时，应有0)1(0)1(ff解之得31xx或。故x的取值范围为),3()1,(。反思：对于一次函数(),[,],(0)fxkxbxmnk有：()0()0,()0fmfxfn恒成立()0()0()0fmfxfn恒成立含参不等式恒成立问题5/7（五）、数形结合法：●数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：1）)()(xgxf函数)(xf图象恒在函数)(xg图象上方；2）)()(xgxf函数)(xf图象恒在函数)(xg图象下上方。例7．设xxxf4)(2,axxg134)(,若恒有)()(xgxf成立,求实数a的取值范围.巩固练习1、求使不等式)2,0(4,cossinxxxa恒成立的实数a的范围。（2a）2、设函数是定义在(,)上的增函数，如果不等式2(1)(2)faxxfa对于任意[0,1]x恒成立，求实数a的取值范围。（1a）含参不等式恒成立问题6/73、当x(1,2)时，不等式2(1)logaxx恒成立，求a的取值范围。（1a2）4、若不等式nann1)1(2)1(对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是5、对数列na和nb，若对任意正整数n，恒有nnab，则称数列nb是数列na的“下界数列”.（1）设数列12nan，请写出一个公比不为1的等比数列nb，使数列nb是数列na的“下界数列”；（2）设数列722,10322nnbnnann，求证数列nb是数列na的“下界数列”；（3）设数列Nnnnnnbnann,2,1771,7,12，构造：)1()1)(1(32nnaaaT，)1()1()1(21nnbbbP，求使nnkPT对Nnn,2恒成立的k的最小值.5.1）nnb)21(等，答案不唯一；（2）871)43(22nan，当1n时na最小值为9,)272111(21272112721nnnbn，则,21123aaa2154aa,因此，4n时，nb最大值为6，所以，nnab，数列nb是数列na的“下界数列”；（3）nnnnnnTn21)1)(1(342231)11()311)(211(222222，nnPn7，不等式为nnknn7212，)7(212nnk，含参不等式恒成立问题7/7max2])7(21[nnk，设3,1ttn，则)28(21)82(2)7(2122tttttnn，当3t时，tt8单调递增，3t时，tt8取得最小值，因此223])7(21[max2nn，k的最小值为.223