高中数学高考总复习复数习题【讲解】

高考总复习含详解答案高中数学高考总复习复数习题及详解一、选择题1．复数3＋2i2－3i＝()A．iB．－iC．12－13iD．12＋13i[答案]A[解析]3＋2i2－3i＝(3＋2i)(2＋3i)(2－3i)(2＋3i)＝6＋9i＋4i－613＝i.2．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A．4＋8iB．8＋2iC．2＋4iD．4＋i[答案]C[解析]由题意知A(6,5)，B(－2,3)，AB中点C(x，y)，则x＝6－22＝2，y＝5＋32＝4，∴点C对应的复数为2＋4i，故选C.3．若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i表示的点在虚轴上，则实数m的值是()A．－1B．4C．－1和4D．－1和6[答案]C[解析]由m2－3m－4＝0得m＝4或－1，故选C.[点评]复数z＝a＋bi(a、b∈R)对应点在虚轴上和z为纯虚数应加以区别．虚轴上包括原点(参见教材104页的定义)，切勿错误的以为虚轴不包括原点．4．(文)已知复数z＝11＋i，则z－·i在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限高考总复习含详解答案[答案]B[解析]z＝1－i2，z－＝12＋i2，z－·i＝－12＋12i.实数－12，虚部12，对应点－12，12在第二象限，故选B.(理)复数z在复平面上对应的点在单位圆上，则复数z2＋1z()A．是纯虚数B．是虚数但不是纯虚数C．是实数D．只能是零[答案]C[解析]解法1：∵z的对应点P在单位圆上，∴可设P(cosθ，sinθ)，∴z＝cosθ＋isinθ.则z2＋1z＝cos2θ＋isin2θ＋1cosθ＋isinθ＝2cos2θ＋2isinθcosθcosθ＋isinθ＝2cosθ为实数．解法2：设z＝a＋bi(a、b∈R)，∵z的对应点在单位圆上，∴a2＋b2＝1，∴(a－bi)(a＋bi)＝a2＋b2＝1，∴z2＋1z＝z＋1z＝(a＋bi)＋(a－bi)＝2a∈R.5．(2010·广州市)复数(3i－1)i的共轭复数．．．．是()A．－3＋iB．－3－iC．3＋iD．3－i[答案]A[解析](3i－1)i＝－3－i，其共轭复数为－3＋i.6．已知x，y∈R，i是虚数单位，且(x－1)i－y＝2＋i，则(1＋i)x－y的值为()A．－4B．4C．－1D．1[答案]A[解析]由(x－1)i－y＝2＋i得，x＝2，y＝－2，所以(1＋i)x－y＝(1＋i)4＝(2i)2＝－4，故高考总复习含详解答案选A.7．(文)复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]D[解析]∵z＝z1z2＝(3＋i)(1－i)＝4－2i，∴选D.(理)现定义：eiθ＝cosθ＋isinθ，其中i是虚数单位，e为自然对数的底，θ∈R，且实数指数幂的运算性质对eiθ都适用，若a＝C50cos5θ－C52cos3θsin2θ＋C54cosθsin4θ，b＝C51cos4θsinθ－C53cos2θsin3θ＋C55sin5θ，那么复数a＋bi等于()A．cos5θ＋isin5θB．cos5θ－isin5θC．sin5θ＋icos5θD．sin5θ－icos5θ[答案]A[解析]a＋bi＝C50cos5θ＋iC51cos4θsinθ＋i2C52cos3θsin2θ＋i3C53cos2θsin3θ＋i4C54cosθsin4θ＋i5C55sin5θ＝(cosθ＋isinθ)5＝(eiθ)5＝ei(5θ)＝cos5θ＋isin5θ，选A.8．(文)已知复数a＝3＋2i，b＝4＋xi(其中i为虚数单位)，若复数ab∈R，则实数x的值为()A．－6B．6C.83D．－83[答案]C[解析]ab＝3＋2i4＋xi＝(3＋2i)(4－xi)16＋x2＝12＋2x16＋x2＋8－3x16＋x2i∈R，∴8－3x16＋x2＝0，∴x＝83.(理)设z＝1－i(i是虚数单位)，则z2＋2z＝()A．－1－iB．－1＋i高考总复习含详解答案C．1－iD．1＋i[答案]C[解析]∵z＝1－i，∴z2＝－2i，2z＝21－i＝1＋i，∴z2＋2z＝1－i，选C.9．在复平面内，复数21－i对应的点到直线y＝x＋1的距离是()A.22B.2C．2D．22[答案]A[解析]∵21－i＝2(1＋i)(1－i)(1＋i)＝1＋i对应点为(1,1)，它到直线x－y＋1＝0距离d＝12＝22，故选A.10．(文)设复数z满足关系式z＋|z－|＝2＋i，则z等于()A．－34＋iB.34－iC.34＋iD．－34－i[答案]C[解析]由z＝2－|z－|＋i知z的虚部为1，设z＝a＋i(a∈R)，则由条件知a＝2－a2＋1，∴a＝34，故选C.(理)若复数z＝a＋i1－2i(a∈R，i是虚数单位)是纯虚数，则|a＋2i|等于()A．2B．22C．4D．8高考总复习含详解答案[答案]B[解析]z＝a＋i1－2i＝(a＋i)(1＋2i)5＝a－25＋2a＋15i是纯虚数，∴a－25＝02a＋15≠0，∴a＝2，∴|a＋2i|＝|2＋2i|＝22.二、填空题11．规定运算abcd＝ad－bc，若zi－i2＝1－2i，设i为虚数单位，则复数z＝________.[答案]1－i[解析]由已知可得zi－i2＝2z＋i2＝2z－1＝1－2i，∴z＝1－i.12．若复数z1＝a－i，z2＝1＋i(i为虚数单位)，且z1·z2为纯虚数，则实数a的值为________．[答案]－1[解析]因为z1·z2＝(a－i)(1＋i)＝a＋1＋(a－1)i为纯虚数，所以a＝－1.13．(文)若a是复数z1＝1＋i2－i的实部，b是复数z2＝(1－i)3的虚部，则ab等于________．[答案]－25[解析]∵z1＝1＋i2－i＝(1＋i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝15＋35i，∴a＝15.又z2＝(1－i)3＝1－3i＋3i2－i3＝－2－2i，∴b＝－2.于是，ab＝－25.(理)如果复数2－bi1＋2i(i是虚数单位)的实数与虚部互为相反数，那么实数b等于________．[答案]－23[解析]2－bi1＋2i＝2－bi1＋2i·1－2i1－2i＝2－2b5－b＋45i，由复数的实数与虚数互为相反数得，2－2b5＝b＋45，解得b＝－23.14．(文)若复数z＝sinα－i(1－cosα)是纯虚数，则α＝________.[答案](2k＋1)π(k∈Z)高考总复习含详解答案[解析]依题意，sinα＝01－cosα≠0，即α＝kπα≠2kπ，所以α＝(2k＋1)π(k∈Z)．[点评]新课标教材把《复数》这一章进行了精简，不再要求复数的三角形式以及复杂的几何形式和性质；对于复数的模的要求很低，了解概念就行．主要考查复数的代数形式以及复数的四则运算，这是我们复习的重点，不要超过范围．(理)设i为虚数单位，复数z＝(12＋5i)(cosθ＋isinθ)，若z∈R，则tanθ的值为________．[答案]－512[解析]z＝(12cosθ－5sinθ)＋(12sinθ＋5cosθ)i∈R，∴12sinθ＋5cosθ＝0，∴tanθ＝－512.三、解答题15．已知复数z＝a2－7a＋6a＋1＋(a2－5a－6)i(a∈R)．试求实数a分别为什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．[解析](1)当z为实数时，a2－5a－6＝0a＋1≠0，∴a＝6，∴当a＝6时，z为实数．(2)当z为虚数时，a2－5a－6≠0a＋1≠0，∴a≠－1且a≠6，故当a∈R，a≠－1且a≠6时，z为虚数．(3)当z为纯虚数时，a2－5a－6≠0a2－7a＋6＝0a＋1≠0∴a＝1，故a＝1时，z为纯虚数．16．求满足z＋1z－1＝1且z＋2z∈R的复数z.[解析]设z＝a＋bi(a、b∈R)，由z＋1z－1＝1⇒|z＋1|＝|z－1|，由|(a＋1)＋bi|＝|(a－1)＋bi|，∴(a＋1)2＋b2＝(a－1)2＋b2，得a＝0，∴z＝bi，又由bi＋2bi∈R得，高考总复习含详解答案b－2b＝0⇒b＝±2，∴z＝±2i.17．将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b.(1)设复数z＝a＋bi(i为虚数单位)，求事件“z－3i为实数”的概率；(2)求点P(a，b)落在不等式组a－b＋2≥00≤a≤4b≥0表示的平面区域内(含边界)的概率．[解析](1)z＝a＋bi(i为虚数单位)，z－3i为实数，则a＋bi－3i＝a＋(b－3)i为实数，则b＝3.依题意得b的可能取值为1,2,3,4,5,6，故b＝3的概率为16.即事件“z－3i为实数”的概率为16.(2)连续抛掷两次骰子所得结果如下表：1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)由上表知，连续抛掷两次骰子共有36种不同的结果．不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)．由图知，点P(a，b)落在四边形ABCD内的结果有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6)，共18种．所以点P(a，b)落在四边形ABCD内(含边界)的概率为P＝1836＝12.