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1第一章整式的运算1．1整式Ⅰ学法导引整式是代数式中最基本的式子，通过实例去感受生活中常常用到的单项式、多项式，在列代数式的基础上，学会自己归纳各个概念的特征，会加深对概念的理解和运用．Ⅱ要点精讲1重点：单项式、多项式、单项式的系数和次数、多项式的次数及各项系数的概念；准确地找出单项式的系数和次数、多项式的次数及各项系数；明确这些概念之间的区别和联系，单独的一个字母或数也是单项式．2难点:确定单项式的系数、次数，多项式的项、次数。3易错点：单项式的系数是负数或分数时，漏掉“－”号或分母；在计算多项式的次数时，把各项的次数加起来作为次数，或把系数与次数的概念混淆．Ⅲ精典例题解析重点例1求下列各单项式的系数及次数、多项式的次数及各项系数．解析在求单项式次数时，注意两点：（1）单独一个数次数为0；（2）次数为所有字母的指数和.在求多项式的次数时，先求多项式中每一项的次数，再取这些次数中的最高次数作为多项式的次数．答案2剖析难点解析第一项的次数为2＋1＝3次、第二项的次数为1＋1＋2＝4次、第三项的次数为1次，第四项的次数为0次．点击易错点错解分析（1）把系数的分母丢掉、错把c的次数当成0．（2）第一项的次数是2，第二项的次数是1，第三项的次数为0，2＋1＋0＝3从而得到多项式的次数为3，错在不能把各项次数相加，Ⅳ能力升级综合能力升级单项式次数的逆向思维与方程综合运用可培养学生逆向思维的能力．答案由题意知：m＋2＝6，m＝4．所以方程mx＋2m＝2，即4x＋8＝12，解得x＝1．1．2整式的加减Ⅰ学法导引在七年级上册学过的合并同类项、去括号的基础上去学习整式的加减，应通过自己的总结、归纳，认识到整式的加减实质就是合并同类项，有括号的应先去括号，然后再合并同类项．Ⅱ要点精讲1重点：整式加减的法则的应用．掌握好整式加减的运算，首先掌握好同类项的概念，其次正确的合并同类项，运算时必须讲究算必3有据，以理驭算．2难点：（1）括号前是“－”号的去括号时，括号里的每一项必须改变符号；（2）括号前有因数的．先利用分配律将该数乘以括号里的每一项再去括号，预防发生符号错误．3易错点：（1）去括号时，括号前面是“－”号，去掉“－”号和括号后，只改变第一项的符号，其他项没有变号；（2）合并同类项时出现找错、漏找同类项，或是系数相加减时出现错误．Ⅲ精典例题解析重点【例1】求下列各整式的和．解析解答此类题必须做到以下几点：（1）根据题意列出代数式；（2）会去括号；（3）会合并同类项．剖析难点解析后面－个括号前面有系数2，并且2的前面是负号，计算这类题，要先利用分配律，再去括号．点拨遇到这类的题，最好先用分配律．点击易错点错解分析将去括号与做乘法同时进行，结果顾此失彼．在计算这类题时，应先用分配律，把括号前面的数与多项式的每一项都相乘之后，再去括号然后合并同类项．Ⅳ能力升级综合能力升级4将整式的加减与绝对值、完全平方式综合运用．应用创新能力升级要通过汁算回答，不能想当然．【例5】在－个直径为d的地球仪的赤道圈上用铁丝打－个箍，假设地球的赤道也是个圆，在地球的赤道上也有－个铁箍，现将两个铁箍的半径都增加1米，小明认为地球比地球仪大得多，所以赤道上铁箍的半径增加1米比地球仪上的铁箍半径增加1米需要增加的铁丝多得多，你认为这个说法正确吗？请说明理由．答案不正确．1．3同底数幂的乘法Ⅰ学法导引注意同底数幂的乘法法则是如何归纳总结和证明的，在新旧知识的类比中加深对幂的意义和乘法意义的理解与应用，同时要防止把幂的乘法法则性质与整式的加法相混淆，为后面学习整式乘法打好基础．Ⅱ要点精讲1重点：同底数幂的乘法法则是同底数幂相乘，底数不变指数相加，掌握好此法则的关键要注意公式左右特征，此公式要会逆用，法则的推广，底数即可以是单项式，也可以是多项式，三个或三个以上法则也适用．2难点：法则的正确运用及灵活运用，灵活运用包括法则的推广、法则逆用和法则的迁移．3．易错点：把法则记错、符号问题及幂的乘法运算与整式的加法5相混淆，乘法只要求同底数就可用性质计算，而加法不仅要求底数相同，而且指数也必须相同．Ⅲ精典例题解析重点剖析难点点击易错点错解分析错误原因都是本节的法则掌握的不准确．Ⅳ能力升级综合能力升级同底数幂的乘法与前面学过的整式的加减综合运用．解析此题是两个幂之积的和，在加号前面的两个幂是同底数的幂，可直接根据法则计算；在加号后面的两个幂也可看作是底数相同的幂，因为－（2x－1）＝（－1）·（2x－1）．应用创新能力升级逆用同底数幂的乘法法则，可对一些较大的数比较大小．解析解决此类问题的方法是化成几个数的乘积的形式，使其中的某个因数相同．比较另外的因数的大小，就可比较出原数的大小．1．4幂的乘方与积的乘方Ⅰ学法导引运用观察归纳总结的方法得到幂的乘方的法则、积的乘方的法则，连同上一节的同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方三个运算性质是整式乘法的基础，也是整式乘法的主要依据，在计算时注意符号，避6免运算法则发生混淆．Ⅱ要点精讲两个公式中的底数，可以是一个数或一个字母，也可以是一个多项式，两个公式都可以逆用，简化计算.2难点：两个法则的灵活运用和逆用．3易错点：（1）幂的乘方法则用错，与同底数幂乘法法则混淆．（2）积的乘方法则用错．Ⅲ精典例题解析重点部析难点点拨计算时要注意运算顺序和正确运用相关的运算法则，要综合运用幂的三种运算法则，计算时一定要认真仔细，正确运用法则．点击易错点错解分析（1）错的根本原因没有真正理解幂的乘方的含义，将幂的乘方与同底数幂的乘法法则混淆，幂的乘方运算是转化为指数的乘法运算；同底数幂的乘法是转化为指数的加法运算．（2）乘积中的因式b没有乘方．Ⅳ能力升级综合能力升级同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、整式加减综合运用．应用创新能力升级逆用同底数幂的乘方法则、乘法的运算律，可求某些式子的值．71．5同底数幂的除法Ⅰ学法导引要善于进行多尝试、多观察，通过自己计算并归纳出同底数幂的除法法则，利用特殊情况得到零指数幂和负指数幂的意义，多发现问题并主动寻找解决问题的方法．Ⅱ要点精讲底数a若为零，则除数为零除法就没有意义了，公式后面的条件是法则的一部分，不要漏掉，应用这一法则时，必须明确底数是什么，指数是什么然后再按同底数幂除法法则进行计算，单独一个字母，其指数为1，而不是0；（3）指数概念从正整数指数幂推广到零指数幂以后，幂的4种法则仍然适用；（4）幂的4条运算法则对负整数指数幂仍然适用．2难点：准确、熟练地运用法则进行同底数幂的除法运算；对负整数指数的意义的理解．3易错点：（1）指数的运算混乱，底数不变，指数相减误认为指数相除；（2）运算顺序出现错误；（3）在应用零指数幂和负指数幂的规定时出错；（4）逆用法则时出错．Ⅲ精典例题解析重点8解析此题需用同底数幂的除法法则进行计算，先转化成同底数的幂，再运用法则．点击易错点错解分析（1）错在指数不是相除而是相减；（3）错在运算顺序上，同级运算不能跳着运算，而应自左向右依次运算．Ⅳ能力升级综合能力升级同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方、幂的乘方的综合运用．应用创新能力升级在一个式子中用幂的运算法则求多个字母的值．1．6整式的乘法Ⅰ学法导引运用不同方式自主探索、自主发现、自主体验三类整式乘法的运算法则，达到真正理解法则的来源及实质．对于法则并能用自己的语言进行描述，明白多项式乘以多项式可转化为单项式乘以多项式，而单项式乘以多项式则可以化为单项式乘以单项式．Ⅱ要点精讲1重点：三类整式乘法的法则．理解三者之间的转化思想方法．单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．单项式乘法中若有乘方，9乘法等混合运算，应按“先乘方、再乘法”的顺序进行．单项式与多项式相乘的法则：m（a＋b＋c）＝ma＋mb＋mc，即单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项再把所得的积相加．单项式乘以多项式转化成单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，多项式中每一项都包含它前面的符号．多项式乘以多项式的法则：（m＋n）（a＋b）＝m（a＋b）＋n（a＋b）＝ma＋mb＋na＋nb，即多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．多项式乘多项式先转化成单项式乘以多项式，运算结果中有同类项的要合并同类项，并按某个字母的升幂或降幂排列．2难点：灵活运用整式的乘法法则．运用单项式乘以单项式法则实际上把单项式的乘法变成了有理数的乘法和同底数幂的乘法运算．运用单项式乘以多项式的法则：法则中的“每一项”都包括它前面的符号；单项式乘以多项式其积仍是多项式，项数与原多项式的项数相同，计算时不要漏乘项；混合运算应注意运算顺序，最后结果中不允许有同类项．运用多项式乘以多项式的法则时，必须做到不重不漏，相乘时，按一定顺序进行，多项式与多项式相乘的结果仍是多项式，在未合并同类项之前，积的项数为两个多项式的项数之积．3易错点：（1）使用运算法则错误及运算顺序错误．10（2）计算中的符号问题和丢项问题．Ⅲ精典例题解析重点点拨（1）计算时要注意系数符号，利用单项式乘法法则，转化为同底数幂的乘法．（2）把多项式乘以单项式转化为单项式乘以单项式注意符号和不要漏乘．（3）多项式的每一项都包括它前面的符号，最后结果中应不含同类项．剖析难点解析题中的系数化成假分数计算比较方便．点拨不要漏掉任何一项，特别是当常数项是±1时不要漏乘．点击易错点错解分析（1）题漏掉了只在一个单项式里出现的字母z．（2）忽略了符号．Ⅳ能力升级综合能力升级把整式乘法与解方程知识综合运用，可求出能化为一元一次方程的解．点拨应用整式乘法法则先去括号，然后再合并同类项，再按照解一元一次方程的步骤求出方程的解．应用创新能力升级利用长方形面积公式与多项式的乘法建立某些字母间的关系式．［例5］在一块长为30米，宽为20米的长方形场地上建造一个游11泳池，使四周人行道的宽都是x米，请用含x的代数式表示游泳池的面积y．答案由题意知游泳池的长为（30－2x）米，宽为（20－2x）米，点拨通过画出图形，使条件更加直观，从而正确写出长与宽的表达式．1．7平方差公式Ⅰ学法导引亲身经历探索平方差公式的过程，善于总结规律，并尝试用语言描述这个规律．掌握公式的结构特征，理解平方差公式的实质是多项式乘法的特殊化，同时注意应用交换律，从中感受实践——理论——实践．Ⅱ要点精讲公式左边：因式的两个特征①两个因式均是二项式，②这两个因式中一项相同，另一项互为相反数；公式右边：它是相同项的平方与相反项的平方的差的形式，前后位置不能颠倒；公式中a、b具有广泛性，可以表示一个数、一个单项式、一个多项式．2难点：判断是否符合公式的形式，从而正确地运用公式计算，判断时注意两个因式中一项完全相同，而另一项互为相反数这一显著特征；公式的逆用．123易错点：(1)对公式结构不熟悉，在运用公式时不知哪项相当子公式中的a，哪项相当于公式中的b．(2)出现错用公式的现象．Ⅲ精典例题解析重点［例1］计算：(1)(2x＋3y)(2x－3y)；(2)题中相同项是3x，相反项是b与－b及－2与2，在第一个因式中把b与－2结合，第二个因式中，把－b与2结合，原式变为［3x＋(b－2)］［3x－(b－2)］．Ⅳ能力升级综合能力升级对于－些复杂计算，要多观察发现题的特点，恰当的运用公式．解析直接计算繁琐，观察连乘积的每个因式，从第二个因式起每个因式均为2的偶次幂与1的和，注意到2－1＝1，用1乘原式值不变，这样构造出－个因式(2－1)后可连续使用平方差公式计算．1．8完全平方公式Ⅰ学法导引和平方差公式一样，完全平方公式也是由两个特殊的多项式相乘得到的结论通过几何图形用观察、变化总结的方法得出完全平方公式，明确它的结构特征，并与平方差公式的结构特征进行比较，分清它们的异同．Ⅱ要点精讲131．重点：完全平方公式及其运用．完全平方公式：完全平方公式的结构特征：公式左边为两数和（或差）的平方；公式右边为三项：左边两数的平方和加上（或减去）左边两