无穷区间上的广义积分

4.4无穷区间上的广义积分定积分的概念中,积分区间是一个有限区间,但在科学技术中有时会遇到区间是无限区间,为此需要将定积分的概念加以扩展,得到下列无穷区间上的广义积分的概念.[,]ab定义4.2设函数f(x)在[a,+)上连续，取实数ba，如果极限babxxfd)(lim则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a,+)上的广义积分，.d)(limd)(babaxxfxxf这时也称广义积分收敛，,d)(axxf记作即存在，否则称广义积分发散.定义4.3设函数f(x)在(-,b]上连续，取实数ab，如果极限baaxxfd)(lim则称此极限值为函数f(x)在无穷区间(-,b]上的广义积分，xxfxxfbbaad)(limd)(这时也称广义积分收敛，,d)(bxxf记作即存在，否则称广义积分发散.定义4.43设函数f(x)在(-,+)内连续，且对任意实数c，如果反常积分xxfxxfccd)(d)(与则称上面两个广义积分之和为f(x)在无穷区间(-,+)内的广义积分，,d)(d)(d)(ccxxfxxfxxf这时也称广义积分收敛，,d)(xxf记作即都收敛，否则称广义积分发散.为了书写上的方便，借用“N—L”公式的记法，若F(x)是f(x)的一个原函数，并记),(lim)(xFFx).(lim)(xFFx则定义1，2，3中的反常积分可表示为axxfd)(axF)(，)()(aFFbxxfd)(bxF)(，)()(FbFxxfd)()(xF.)()(FF例1计算0.xxxed解用分部积分法，得0xxde0xxxed00xxxxeed000(0)1.xee1limlimlim0,xxxxxxxxeee注：以上实际即00,xxe1limlim0xxxxee00(0)1.xee补例计算.de0xxx解用分部积分法，得0dexxxxxde000deexxxx.1e0xxxxxxxelimelim其中,0e1limxx.0e0xx即例2求21.1xxd解211xxdarctanx().22.dcos0的收敛性xx补例判断解.sindcos00xxx由于当x+时，sinx没有极限，所以原广义积分发散.补例判断.lnde的收敛性xxx解elnlndxxelndxxxelnlnx故该积分发散.补例证明反常积分1,d1xxp当p1时，收敛；当p≤1时，发散.证p=1时，则11lndxxx所以该广义积分发散.*11111dppxpxx.1,,1,11ppp当当当p1时，综合上述，该反常积分收敛.当p≤1时，该反常积分发散.p1时，则