3.4基本不等式(公开课必备)

第三章不等式1.熟练掌握基本不等式并会证明.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.问题导学题型探究归纳总结学习目标该图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？问题导学1：ADCBHFGEab22ba22ba1、正方形ABCD的面积S=＿＿＿＿＿２、四个直角三角形的面积和S’=＿＿ab2３、S与S’有怎样的不等关系？SS′那么它们有相等的情况吗？22baab2(a≠b)ADBCEFGHba22ab猜想：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立。222ababABCDE(FGH)ab22baab222baab2(a≠b)(a＝b)＝思考：你能给出不等式的证明吗？abba2220)(2ba0)(2ba2()0ab所以≥222.abab所以≥时当ba时当ba222abab≥证明：（作差法）2)(ba重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有当且仅当a=b时，等号成立222abab≥适用范围：a,b∈R0,0,,,,ababab如果我们用分别代替可得到什么结论？22()()2abab≥2abab≥替换后得到：即：)0,0(ba2abab≥即：问题一2abab≥证明：要证只要证_______ab≥①要证①，只要证_____0ab≥②要证②，只要证2(______)0≥③显然,③是成立的.当且仅当a=b时,③中的等号成立.分析法22(0,0,(),())abaabb2ab2abba你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？问题二若a0，b0，则_____2abab≥通常我们把上式写作：(0,0)2ababab≤当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.基本不等式定义适用范围：a0,b0ACDE观察下图，你能得到不等式的几何解释吗？b,BCaAC)0,0(2babaab问题导学2：(0,0)2ababab≤当且仅当a=b时取等号.基本不等式在数学中，我们把叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数；2abab文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.适用范围文字叙述“=”成立条件222abab≥2abab≥a=ba=b两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两数的平方和不小于它们积的2倍a,b∈Ra0,b0比较重要不等式和基本不等式：题型一基本不等式与最值二、题型探究例1(1)若x0，求函数y＝x＋4x的最小值，并求此时x的值；解当x0时，x＋4x≥2x·4x＝4，当且仅当x＝4x，即x2＝4，x＝2时取等号.∴函数y＝x＋4x(x0)在x＝2时取得最小值4.一正二定三相等(2)设0x32，求函数y＝4x(3－2x)的最大值；解∵0x32，∴3－2x0，∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22x＋3－2x22＝92.当且仅当2x＝3－2x，即x＝34时，等号成立.∵34∈0，32.∴函数y＝4x(3－2x)(0x32)的最大值为92.二定凑项：使和成定值一正三相等(3)已知x2，求x＋4x－2的最小值；解∵x2，∴x－20，∴x＋4x－2＝x－2＋4x－2＋2≥2x－2·4x－2＋2＝6，当且仅当x－2＝4x－2，即x＝4时，等号成立.∴x＋4x－2的最小值为6.二定凑项：使积成定值一正三相等解∵x0，y0，1x＋9y＝1，∴x＋y＝1x＋9y(x＋y)＝yx＋9xy＋10≥6＋10＝16，当且仅当yx＝9xy，又1x＋9y＝1，即x＝4，y＝12时，上式取等号.故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.(4)已知x0，y0，且1x＋9y＝1，求x＋y的最小值.“1”的代换反思与感悟在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正：二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件.口诀：一正、二定、三相等练习1(1)已知x0，求f(x)＝12x＋3x的最小值；解:(1)∵x0，∴f(x)＝12x＋3x≥212x·3x＝12，当且仅当3x＝12x，即x＝2时取等号.∴f(x)的最小值为12.(2)已知x3，求f(x)＝4x－3＋x的最大值；(2)已知x3，求f(x)＝4x－3＋x的最大值；解∵x3，∴x－30.∴f(x)＝4x－3＋x＝4x－3＋x－3＋3＝－43－x＋3－x＋3≤－243－x·3－x＋3＝－1，当且仅当43－x＝3－x，即x＝1时取等号.∴f(x)的最大值为－1.题型二基本不等式在实际问题中的应用例2(1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？解设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则xy＝100，篱笆的长为2(x＋y)m.由x＋y2≥xy，可得x＋y≥2100，2(x＋y)≥40.等号当且仅当x＝y时成立，此时x＝y＝10.因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m.(2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则2(x＋y)＝36，x＋y＝18，矩形菜园的面积为xym2.由xy≤x＋y2＝182＝9，可得xy≤81，当且仅当x＝y，即x＝y＝9时，等号成立.因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积为81m2.利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件.反思与感悟练习2某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少？解设水池底面一边的长度为xm，则另一边的长度为48003xm.又设水池总造价为y元，根据题意，得y＝150×48003＋120×(2×3x＋2×3×48003x)＝240000＋720×x＋1600x≥240000＋720×2x·1600x＝297600(元)，当且仅当x＝1600x，即x＝40时，y取得最小值297600.答水池底面为正方形且边长为40m时总造价最低，最低总造价为297600元.归纳总结基本不等式求最值的条件：(1)x，y必须是；(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为；(3)等号成立的条件是否满足.正数定值定值即：已知x,y都是正数,P,S是常数.(1)xy=Px+y≥2P(当且仅当x=y时,取“=”号).(2)x+y=Sxy≤S2(当且仅当x=y时,取“=”号).14大家来找茬：错在哪里？.2原式有最小值\12×xxx,21:解x;,0)1(的最值求已知1xxx不满足“一正”不满足“二定”不满足“三相等”221R,2(),,abababab那么≥当且仅当时,等号成立(2)(0,0)2abababab≤，当且仅当时，等号成立。三、归纳总结：已知x,y都是正数,P,S是常数.(1)xy=Px+y≥2P(当且仅当x=y时,取“=”号).(2)x+y=Sxy≤S2(当且仅当x=y时,取“=”号).142.利用基本不等式求最值1.两个不等式口诀：一正、二定、三相等