高考数学复习圆锥曲线(理科)

椭圆思想方法：一、函数与方程的思想、待定系数法1．在圆锥曲线的一些求取值范围及最值的问题中，常将所求量表达为其它量的函数，运用函数的方法解决．2．求椭圆方程时，焦点位置不明确要分类讨论3．求圆锥曲线方程时，往往是已知曲线形状特征或由已知条件可分析其几何特征，确定形状，设出其标准方程，然后设法列出关于待定系数的方程或方程组求待定系数．要注意解题过程中，设而不求、整体处理的策略和恰当运用一元二次方程根与系数的关系求解．4．焦点三角形问题椭圆的一条焦点弦和另一焦点围成一个三角形．习惯上称作焦点三角形，在焦点三角形中命制题目是常见命题方式，解决焦点三角形问题经常从以下几个方面入手：①定义②正、余弦定理③三角形面积．二、解题技巧1．求椭圆的方程主要有定义法和待定系数法，运用待定系数法求方程时，当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，设方程为x2m＋y2n＝1(m0，n0)，可以避免讨论和繁琐的计算，也可以设为Ax2＋By2＝1(A0，B0)，这种形式在求解过两定点的椭圆方程时更简便．3．求椭圆的离心率时，常常要列出a，b，c的一个齐次方程，结合b2＝a2－c2，两边同除以a2化为e(e＝ca)的二次方程求解．4．椭圆上点M到焦点距离的最大值为a＋c，最小值为a－c.命题方向1：椭圆的标准方程[例1]已知椭圆x210－m＋y2m－2＝1的焦距为4，则m等于()A．4B．8C．4或8D．以上都不对变式练习：椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为()A.14B.12C．2D．4命题方向2：椭圆的定义[例2](2011·新课标全国高考)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．变式练习：已知点M(3，0)，椭圆x24＋y2＝1与直线y＝k(x＋3)交于点A、B，则△ABM的周长为()A．4B．8C．12D．16命题方向3：椭圆的离心率[例3]：已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是()A.32B.22C.2－1D.2变式练习：已知F1、F2是椭圆x2k＋2＋y2k＋1＝1的左、右焦点，弦AB过F1，若△ABF2的周长为8，则椭圆的离心率为________．命题方向4：椭圆中的最值问题[例4]若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为()A．1B.2C．2D．22变式练习：设P是椭圆x225＋y29＝1上一点，M、N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为()A．9,12B．8,11C．8,12D．10,12点评：∵圆外一点P到圆上所有点中距离的最大值为|PC|＋r，最小值为|PC|－r，其中C为圆心，r为半径，故只要连接椭圆上的点P与两圆心M、N，直线PM、PN与两圆各交于两点处取得最值，最大值为|PM|＋|PN|＋两圆半径和，最小值为|PM|＋|PN|－两圆半径和.命题方向5：椭圆与其它知识的交汇[例5]曲线x210－m＋y26－m＝1(m6)与曲线x25－n＋y29－n＝1(5n9)的()A．焦距相等B．离心率相等C．焦点相同D．有两顶点相同变式练习：若点O和点F分别为椭圆x24＋y23＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP→·FP→的最大值为()A．2B．3C．6D．8命题方向6：综合应用[例6](2011·广东惠州一模)已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上．若右焦点到直线x－y＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设直线y＝kx＋m(k≠0)与椭圆相交于不同的两点M，N.当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．解析：(1)依题意可设椭圆方程为x2a2＋y2＝1，则右焦点F(a2－1，0)，由题设得|a2－1＋22|2＝3，解得a2＝3.故所求椭圆的方程为x23＋y2＝1.(2)设P为弦MN的中点，由y＝kx＋m，x23＋y2＝1得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0，∵直线与椭圆相交，∴Δ＝(6mk)2－4(3k2＋1)×3(m2－1)0⇒m23k2＋1.①∴xP＝xM＋xN2＝－3mk3k2＋1，从而yP＝kxP＋m＝m3k2＋1，∴kAP＝yP＋1xP＝－m＋3k2＋13mk，又∵|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN，则－m＋3k2＋13mk＝－1k，即2m＝3k2＋1.②把②代入①得m22m，解得0m2；由②得k2＝2m－130，解得m12.综上求得m的取值范围是12m2.变式练习：已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A、B两点(A、B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．双曲线一、知识碎片、易错点1.双曲线的形状与e的关系：∵双曲线渐近线的斜率k＝ba＝c2－a2a＝c2a2－1＝e2－1，∴e越大，则渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔．故双曲线的离心率越大，它的开口就越宽阔．2．双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程为y＝±bax，而双曲线y2a2－x2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程为y＝±abx(即x＝±bay)应注意其区别与联系．3．平行于双曲线的渐近线的直线与双曲线有且仅有一个交点．二、解题技巧1．巧设双曲线方程(1)已知双曲线上两点坐标，可设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn0)．(2)若所求双曲线与x2a2－y2b2＝1有公共渐近线，或者已知其渐近线方程为y＝±bax，可设其方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(3)若双曲线与椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的焦点相同，则可设其方程为x2a2－λ＋y2b2－λ＝1(b2λa2)．三、典型例题命题方向1：双曲线的定义[例1]在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－6,0)和C(6,0)，若顶点B在双曲线x225－y211＝1的左支上，则sinA－sinCsinB＝________.变式练习：已知双曲线的两个焦点为F1(－10，0)，F2(10，0)，M是此双曲线上的一点，且MF1→·MF2→＝0，|MF1→|·|MF2→|＝2，则该双曲线的方程是()A.x29－y2＝1B．x2－y29＝1C.x23－y27＝1D.x27－y23＝1命题方向2：双曲线的标准方程[例2]已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为()A．5x2－4y25＝1B.x25－y24＝1C.y25－x24＝1D．5x2－5y24＝1变式练习：已知抛物线和双曲线都经过点M(1,2)，它们在x轴上有共同的一个焦点，抛物线的顶点为坐标原点，则双曲线的标准方程是________．命题方向3：离心率[例3]已知sinθ＋cosθ＝15，双曲线x2sinθ＋y2cosθ＝1的焦点在y轴上，则双曲线C的离心率e＝________.分析：双曲线焦点的位置与方程中系数的正负有关，焦点在x轴(或y轴)上，x2(或y2)系数为正，非标准形式的方程求几何量时要先化为标准形式．变式练习：若k∈R，则方程x2k＋3＋y2k＋2＝1表示焦点在x轴上的双曲线的充要条件是()A．－3k－2B．k－3C．k－3或k－2D．k－2命题方向4：双曲线的几何性质[例4](2011·福州质检)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A.5B．5C.2D．2变式练习：已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)和椭圆x216＋y29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．命题方向5：综合应用[例5]设F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P满足|PF2|＝|F1F2|，且cos∠PF1F2＝45，则双曲线的渐近线方程为()A．3x±4y＝0B．3x±5y＝0C．4x±3y＝0D．5x±4y＝0分析：由双曲线定义知|PF1|－|PF2|＝2a，由条件|PF2|＝2c，依据cos∠PF1F2＝45利用余弦定理可建立a与c的方程，结合a2＋b2＝c2可求ba.解析：在△PF1F2中，由余弦定理得cos∠PF1F2＝|PF1|2＋|F1F2|2－|PF2|22|PF1|·|F1F2|＝|PF1|24c·|PF1|＝|PF1|4c＝45.变式练习：过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点F1(－c,0)(c0)，作圆：x2＋y2＝a24的切线，切点为E，直线F1E交双曲线右支于点P，若OE→＝12(OF1→＋OP→)，则双曲线的离心率为()A.10B.105C.102D.2解析：如图所示．∵OE→＝12(OF1→＋OP→)，∴E为PF1的中点，又∵PF1与⊙O相切，∴OE⊥PF1.连接PF2，则PF1⊥PF2，|PF2|＝2|OE|＝a，[例6]双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1、l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1、l2于A、B两点．已知|OA→|、|AB→|、|OB→|成等差数列，且BF→与FA→同向．(1)求双曲线的离心率；(2)设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．解析：(1)设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，右焦点为F(c,0)(c0)，则c2＝a2＋b2.又BF→与FA→同向，故∠AOF＝12∠AOB，所以2tan∠AOF1－tan2∠AOF＝43.解得tan∠AOF＝12，或tan∠AOF＝－2(舍去)．因此ba＝12，a＝2b，c＝a2＋b2＝5b.所以双曲线的离心率e＝ca＝52.(2)由a＝2b知，双曲线的方程可化为x2－4y2＝4b2①由l1的斜率为12，c＝5b知，直线AB的方程为y＝－2(x－5b)②将②代入①并化简，得15x2－325bx＋84b2＝0.设AB与双曲线的两交点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝325b15，x1·x2＝84b215③AB被双曲线所截得的线段长l＝1＋－22·|x1－x2|＝5[x1＋x22－4x1x2]④将③代入④，并化简得l＝4b3，而由已知l＝4，故b＝3，a＝6.所以双曲线的方程为x236－y29＝1.抛物线解题技巧1．由于抛物线的标准方程有四种不同形式，故求抛物线标准方程时，一定要注意区分焦点在哪个轴上加以讨论．抓准抛物线的开口方向及p的几何意义是准确迅速求解的关键．2．抛物线的焦点弦涉及抛物线的焦半径或焦点弦的问题，常考虑应用定义求解．(1)若抛物线y2＝2px(p0)的焦点弦为AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有如下结论：①|AB|＝x1＋x2＋p；②y1y2＝－p2；③x1x2＝p24.(2)直线l过抛物线y2＝2px(p0)的焦点Fp2，0时，常设l：x＝my＋p2以简化运算．3．韦达定理的应用涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，以避免求交点坐标的复杂运算．4．关于抛物线的最值问题(1)A为抛物线弧内一定点，F为焦点，P为抛物线上任一点，求|PA|＋|PF|的最小值问题常用定义转化，由A向抛物线的准线作垂线与抛物线的交点为取到最小值的P点．(2)直线l与抛物线无公共点，求抛物线上的点到l的最小值问题，一般可设出抛物线上的点，用点到直线距离公式转化为二次函数求最值，或设出与l平行且与抛物线相切的直线，转化为两平行直线间的距