2018/2019学年度第二学期高二年级期终考试数学试题方差公式:样本数据12,,,nxxx的方差2211()niisxxn,其中11niixxn.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知复数11zi,22zai(其中i为虚数单位),若12zz为实数,则实数a的值为.2.已知一组数据12345,,,,xxxxx的方差为12,则数据123452,2,2,2,2xxxxx的方差为.3.某学校拟从2名男教师和1名女教师中随机选派2名教师去参加一个教师培训活动,则2名男教师去参加培训的概率是.4.若命题“[0,3]x,使得230xax成立”是假命题,则实数a的取值范围是.5.执行如图所示的流程图,则输出k的值为.6.已知实数,xy满足063010,0yxyxyx,则23yx的最大值为.7.若双曲线2222:1xyCab)0,0(ba的两条渐近线与抛物线24yx的准线围成的三角形面积为2,则双曲线C的离心率为.8.已知圆:222xyr的面积为2r,类似的,椭圆:22221xyab)0(ba的面积为.9.(理科学生做)5名学生站成一排拍照片,其中甲乙两名学生不相邻的站法有种.(结果用数值表示)(文科学生做)已知函数)20)(2sin(2xy的一条对称轴为6x,则的值为.10.(理科学生做)在61xx的二项展开式中,常数项为.(结果用数值表示)(文科学生做)若函数()3(0xxfxaa且1)a是偶函数,则函数()fx的值域为.11.已知函数2()(2)lnfxxaxax,则“0a”是“函数()fx有且仅有一个极值点”的条件.(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)k←0开始输出k结束S>15S←0YNS←S+3kk←k+1(第5题)12.设,AB分别为椭圆2222:1(0)xyCabab的右顶点和上顶点,已知椭圆C过点(2,1)P,当线段AB长最小时椭圆C的离心率为.13.若,xy为正实数,则182222yxyx的最大值为.14.已知函数])2,1[(9)(3xxaxxf的最大值为4,则实数a的值为.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(理科学生做)(本小题满分14分)如图,在四棱锥PABCD中,已知底面ABCD为菱形,8,6ACBD,O为对角线AC与BD的交点,PO底面ABCD且4PO.(1)求异面直线PA与BC所成角的余弦值;(2)求平面APC与平面PCB所成锐二面角的余弦值.(文科学生做)(本小题满分14分)设命题p:函数3211()32fxxmx在]0,1[是减函数;命题q:[0,]2x,都有sin1xm成立.(1)若命题p为真命题,求实数m的取值范围;(2)若pq为真命题,pq为假命题,求实数m的取值范围.16.(理科学生做)(本小题满分14分)某超市在节日期间进行有奖促销,凡在该超市购物满200元的顾客,将获得一次摸奖机会,规则如下:一个袋子装有5只形状和大小均相同的玻璃球,其中两只是红色,三只是绿色,顾客从袋子中一次摸出两只球,若两只球都是红色,则奖励20元;若两只球都是绿色,则奖励10元;若两只球颜色不同,则不奖励.(1)求一名顾客在一次摸奖活动中获得20元的概率;(2)记X为两名顾客参与该摸奖活动获得的奖励总数额,求随机变量X的分布列和数学期望.(文科学生做)(本小题满分14分)设函数)2cos()(xxf.(1)若函数)(xf为奇函数,),0(,求的值;(2)若)2,0(,31)2(,3f,求)(f的值.17.(理科学生做)(本小题满分14分)已知数列na各项均为正数,满足PPAPBPCPDPOP第15题23332)1(21nann.(1)求321,,aaa的值;(2)猜想数列na的通项公式,并用数学归纳法证明你的结论.(文科学生做)(本小题满分14分)设xkxkxxf)12(cos)(2,xR.(1)证明:对任意实数k,函数()fx都不是奇函数;(2)当12k时,求函数()fx的单调递增区间.18.(本小题满分16分)如图,一条小河岸边有相距8km的,AB两个村庄(村庄视为岸边上,AB两点),在小河另一侧有一集镇P(集镇视为点P),P到岸边的距离PQ为2km,河宽QH为km05.0,通过测量可知,PAB与PBA的正切值之比为3:1.当地政府为方便村民出行,拟在小河上建一座桥MN(,MN分别为两岸上的点,且MN垂直河岸,M在Q的左侧),建桥要求:两村所有人到集镇所走距离之和最短,已知,AB两村的人口数分别是1000人、500人,假设一年中每人去集镇的次数均为m次.设PMQ.(小河河岸视为两条平行直线)(1)记L为一年中两村所有人到集镇所走距离之和,试用表示L;(2)试确定的余弦值,使得L最小,从而符合建桥要求.19.(本小题满分16分)如图,已知椭圆124:221yxC与椭圆)20(12:2222mmxyC的离心率相同.ABQQNNMMHHPP第18题(1)求m的值;(2)过椭圆1C的左顶点A作直线l,交椭圆1C于另一点B,交椭圆2C于,PQ两点(点P在,AQ之间).①求OPQ面积的最大值(O为坐标原点);②设PQ的中点为M,椭圆1C的右顶点为C,直线OM与直线BC的交点为R,试探究点R是否在某一条定直线上运动,若是,求出该直线方程;若不是,请说明理由.20.(本小题满分16分)已知函数21()()ln,,.2fxxabxabR(1)当1,0ba时,求函数)(xf在),0(上的最小值;(2)若函数)(xf在1x与2x处的切线互相垂直,求b的取值范围;(3)设1b,若函数)(xf有两个极值点21,xx,且21xx,求12)(xxf的取值范围.2018/2019学年度第二学期高二年级期终考试数学参考答案一.填空题1.22.23.314.32a5.46.27.58.ab9.(理)72(文)6RCyxBAPQOM第19题10.(理)20(文)),2[11.充分不必要12.2213.12614.5二.解答题15.(理科)因为底面为菱形,BDAC,ABCDPO底面,BOAO,底面ABCD,所以BOPOAOPO,,以OPOBOA,,所在直线分别为zyx,,轴建立空间直角坐标系(如图所示),则)0,0,4(),0,3,0(),0,0,4(),4,0,0(CBAP……………………………2分(1)设为直线BCPA,所成的角,),0,34(),4,0,4(BCPA,||||cosBCPABCPA=552,所以异面直线PA与BC所成角的余弦值为552………………………………………6分(2)因为BO平面APC,所以平面APC的法向量取)0,1,0(1n,………………8分设平面PCB的法向量为),,(2zyxn,),0,34(),4,3,0(BCPB,则由0,022BCnPBn,即034043yxzy,取)3,4,3(2n,…………………………………………………12分设为两个平面所成的锐二面角的平面角,则17342||||cos2121nnnn,所以平面APC与平面PCB所成锐二面角的余弦值为17342………………………14分(文科)(1)p为真:因为函数3211()[1,0]32fxxmx在是减函数,所以0)(2mxxxf在]0,1[x上恒成立,………………………………………2分所以0)0(0)1(ff,所以1m……………………………………………………………4分(2)q为真:因为sin1xm对0,2x恒成立,所以1sin1xm对0,2x恒成立,因为sin1mxmm,所以11011mmm即,………………………………………………………………8分当p真q假即101mmm或,所以1m………………………………………………………………………………10分当q真p假即01m且1m,所以01m……………………………………………………………………………12分综上01m或1m……………………………………………………………14分16.(理科)解:(1)记一名顾客摸球中奖20元为事件A,则22251()10CPAC.………………………………………………………………………2分(2)记一名顾客摸球中奖10元为事件B,不中奖为事件C,则23253()10CPBC,6()1()()10PCPAPB,…………………………………4分所以36(0)()()100PXPCPC,36(10)2()()100PXPBPC,21(20)()()2()()100PXPBPBPAPC,6(30)2()()100PXPAPB,1(40)()()100PXPAPA,…………………………………12分X010203040p36100361002110010061100所以()EX3601003610100212010063010014010100…………………14分(文科)解:(1)因为函数()fx为奇函数,所以(0)cos0f,又(0,),所以2,………………………………………………………………2分当2时,xxxf2sin)22cos()(是奇函数,所以2.………………………………………………………………………………4分(2)因为3,1()23f,所以1cos()33,又),(20,所以),(6533,322)3(cos1)3sin(2,…………………6分所以924)3cos()3sin(2)3(2sin,97)322()31()3(sin)3(cos)3(2cos2222……………10分所以()cos(2)cos[2()]333f……………………………………12分所以71423467()cos2()cossin2()sin3333929218f.………………14分17(理)解:(1)当1n时,32121()2a,又0na,所以11a,当2n时,3322312()2a,解得22a,当3n时,333234123()2a,解得33a.………………………………2分(2)猜想:nan.……………………………………………………………………4分证明:(1)当1n时,由(1)可知结论成立;………………………………6分(2)假设当nk时,结论成立,即kak成立,………………………8分则1nk时,由2333(1)122kakk与23331(2)12(1)2kakk,所以2222311(2)(1)(2)(1)(1)2222kkkakakakkkk,所以22322221(2)4(1)(1)(1)(44)kakkkkkkk,又0na,11kak成立,…………………………………………12分根据(1)、(2)猜想成立.………………………………………………14分(文)证明:(1)假设函数()fx为奇函数,则(0)0f,这与2