4-5基本不等式

2abab沧县中学高二年级韩希丽选修4-5不等式选讲重要不等式定理１：如果，那么（当且仅当时取“=”号）．Rba,abba222ba我们可以用比较法证明．探究•你能从几何的角度解释定理１吗？•几何解释::,1释定理长度那么可以这样来解作为线段如果把实数ba.,21.1,22baSSbaCEFGABCD正方形正方形那么如图为例以bbbaaABCDEFGKIJH211.图.2abSSJCDIBCGH矩形矩形abS阴影2又有所以abba222bbbaaABCDEFGKIJH211.图,时当且仅当ba.2,,22abbaCEFGABCD即积和面方形与正正方形等于积阴影部分面两个正方形两个矩形成为思考1220,0,2ababab当在中以a,b分别代替a,b能得到什么结果?2abababba2(当且仅当时取“=”号）．ba如果是正数，那么,ab基本不等式定理２（均值定理）算术平均几何平均均值定理用文字语言可以描述为：两个正数的算术平均不小于（即大于或等于）它们的几何平均aboABPQ对基本不等式的几何意义作进一步探究:如图,AB是圆o的直径，Q是AB上任一点，AQ=a,BQ=b,过点Q作垂直于AB的弦PQ，连AP,BP,则PQ=____,半径AO=_____ab2ba几何意义：1.圆的半径不小于圆内半弦长2.直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高当且仅当中的“=”号成立．ba时2abab这句话的含义是:思考2baabba2当baabba2当和成立的条件相同吗？如：成立，而不成立。abba222abba2)5()1(2)5()1(22)5()1(2)5()1(思考3abba222成立的条件_______abba2成立的条件______a，bRabR，222abcabbcac（1）典例探讨例1求证：（２）已知,,,abcd都是正数，求证()()4abcdacbdabcd证明：由,,,abcd都是正数，得02abcdabcd02acbdacbd()()4abcdacbdabcd()()4abcdacbdabcd即2.,,abc巳知均为正数,求证:(a+b)(b+c)(c+a)8abc1.0,0,11:()()4.ababab巳知求证练习1.,2;,1:2的周长最短正方形在所有面相同的矩形中的面积最大正方形中在所有周长相同的矩形求证例:,.,,,问题就转化为这样面积为为那么该矩形的周长宽为设矩形的长为分析xyyxyx2?,,最大有什么关系时那么正数为定值从而如果xyyxyxyx21?,,最小从而有什么关系时那么正数为定值如果yxyxyxxy22.,式证明所以可以利用基本不等间的数量关系及两个正数的和与积之由于基本不等式恰好涉.,yx宽为设矩形的长为解.,为定值即设矩形周长为定值lyxl221,xyyx2根据基本不等式.xyl4可得,,162lxy矩形的面积于是.,,162lxy取得最大值积面形时即当且仅当矩形是正方等号成立,时当且仅当yx.,,,Syxyx42值取得最小周长矩形是正方形时即当且仅当等号成立时当且仅当.,为定值即设矩形面积为定值SxyS2,xyyx2根据基本不等式,Sxyyx442矩形的周长变形.1如果积已知yx,都是正数，求证：xy是定值,P那么当yx时,和yx有最小值2P2如果和yx是定值,S那么当yx时,积xy有最大值214S证：∵Ryx,∴xyyx21当xyP（定值）时，2xyP∵上式当yx时取“=”∴当yx时，xy有最小值2P2当xyS(定值)时，2Sxy∴214xyS∵上式当yx时取“=”∴当yx时，214xyS有最大值yx2P∴注意：1、最值的含义（“≥”取最小值，“≤”取最大值）2、用极值定理求最值的三个必要条件：一“正”、二“定”、三“相等”应用基本不等式求最值的条件：a、b都必须是正数就是说在a和b相等时，等号成立，即在a＝b时，a+b＝2√ab一正二定三相等1.在a+b为定值时,便可以知道a·b的最大值；2.在a·b为定值时,便可以知道a+b的最小值强调：求最值时要考虑不等式是否能取到“＝”练习21.巳知x0,y0且xy=100,则x+y的最小值是______,此时x=___,y=_____242.0,xxx巳知则6的最小值是____,此时x=_____.2422010101.两个不等式（1）（2）当且仅当a=b时，等号成立注意：1.两公式条件，前者要求a,b为实数；后者要求a,b为正数。2.公式使用的条件以及“=”的成立条件。2.不等式的简单应用：主要在于求最值把握“七字方针”即“一正，二定，三相等”)(2R,,22号时取当且仅当那么baabbaba(a0,b0)2abab作业课本作业；P1０５、６、7