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离散余弦变换DCT介绍离散余弦变换（DCT）是一种基础的变化，是实数函数和实数函数变换到正交余弦域的基础。DCT的正式定义为：还有其他在不同基向量下定义的DCT变换。上面的定义是在一维单变量条件下。通常使用的二维DCT的基向量定义如下：定理1nN，在的N矢量形成一个为RN正交基。证明回忆下列余弦公式：证明用到如下等式：用余弦身份（1）和局部几何系列证明公式（1.1）是正确的，埃尔南德斯和韦斯证明了（1.1）。以下我们证明基向量是正交的：（i）和的规则是一样的（ii）正交与（iii）正交与第（i）部分利用余弦如下标识（2）：的模为1：这样，=1+0=1余弦项是评估让K=2l，l取1，...，N-1和适用公式1.1。有规范1：第（二）由公式1.1：为了证明为正交的对照，这只是必要表明，是一个常数，方程1.1决定，上述是真实的。第（三）部分能被余弦定义（3）和公式1.1证明。我们必须证明出是正交于，k不等于l且通过认证（3）第二行可以使用公式1.1由于L+K和ll-kl必须介于1和N-1之间鉴于这个条件，K如前所述。有了这三个条件满足，证明已完成。现在我们有一个标准正交基，这组基有如下特征：（1）的IDCT（反变换公式）：（2）Parseval关系：如果C是DCT变换，然后z，w=CZ，CW。（3）Plancheral关系：如果C是DCT变换，则DCT的优势与劣势DCT变换的优点和缺点离散余弦变换类似于傅里叶信号变换，它将把信号从空间和时间领域变换到频领域，就好像在准备去压缩一幅图像。正如傅里叶变换可以利用FFT用很少的数量计算来完成，离散余弦变换所用到的复杂计算也会减少很多。有种方法被称为快速余弦变换，或者叫FCT，当N=2q时它可以被使用，这里N是一个需要变换的向量数值，q是一个整数元素，这样复杂性就会降低很多，就像用快速余弦变换，从N2计算到很多Nlog2N的计算。傅里叶变换其实就是离散余弦变换的基础。变换的过程是这样的：假设一个一般的F(m)是一个需要被转换的函数。让m=0,1…N-1。所有的m都在这个范围里面，让Xm=F[(2m+1)/2N],由于周期性的基础函数，扩展m的值到[-N,N-1]。X（-m）=Xm-1，这里m=0,1…，N。现在考虑经过一个类似过程的特殊的函数f，除了下面这种情况：XL=f（e-2πik1/（2N）），这里L在[-N,N-1]。f的离散傅里叶变换就如以下所示：这里离散傅里叶变换yk`s跟1/2*(eπi/(2N))倍的对应的离散余弦函数是平等的。如果快速傅里叶变换用来获取yk`s，上述的复杂性就会减少很多。这个过程就是快速余弦变换。对于应用目使用DCT有多种优势相对快速傅立叶变换。DCT第一个主要优点是它的效率。由于图像的大小要生产的增加，在FFT变成在一个日益复杂得多的迅速增长，并且不减小效率。相反，在转换到频域，一类DCT叫做块DCT被使用，它用更有效的方式执行相同的任务。变换为整个应用于nxn的阵列，大小通常在图像压缩中的8X8。然而，计算一分块DCT实际上并不需要手动图像分离如FFT，但是这是DCT的一种内在功能。实际DFT必须在预算每个单独块并且计算复杂度没有降低N2计算结果仍然需要。但相反，因为DCT可以根据面积划分的，行可以被分解成长度为n，DCT可应用于这些领域。然而，列块的DCT破坏了系统的不变性，因为列块频率不能承担了实现到傅立叶（或频率）域图像频率简单关系。因此，从任何线性比例因子时域不会携带到频域多使用，因为如果阻塞线性不再保留。这是一个值得注意的问题，因为某些高频成分往往是在抑制量化步长（即将进一步讨论），乘以一个比例系数，以提高他们的表达是无益的，因为没有举行的因素是整个过程中不断。DCT的另一个优点是，它的基础上组成的向量是完全实数部分。因此，在图像压缩方面，所有的像素值都用实数表示。此外，像素本身不相互影响。在傅立叶分析，缺点之一是，每一个像素会影响其他的，但如果是用DCT的DFT的，而是来的像素值直接从变换的时域值。上述步骤的量化是图像的压缩过程的一部分，和发生后的图像是由DCT压缩准备。在量子化，代表一个转化数量值的数量减少了，因此也降低了位代表金额以电子。有几种方法来进行减少的数据。一种方法是简单的四舍五入：实数变成整数。一更具体的量化第一个“砝码“上作出的贡献为基础的价值形象，乘以加权系数它之前四舍五入。第三种方法消除了频率，至少准确地代表一个像素值。例如，往往是最高的频率将被淘汰，由于其体积小，小信号能量的贡献，如在案件，低通滤波量化对于有些应用中，是一个预定义的量化矩阵，基本上因素给出了图像像素的权重。DCT的应用数学领域之外的大多数人可能从来没有听说过离散余弦变换（DCT），但大多数计算机用户经常间接性地用到离散余弦变换。甚至为那些不热衷于JPEG图像文件和MPEG视频文件的技术爱好者所熟悉。包含图片的网页用JEPG格式压缩时间只有不压缩时间的10%。MPEG压缩格式在家庭观看时允许单个包含完整长度的DVD电影，比VHS（家用录像系统）能提供更高的画面质量。这两种压缩算法在DCT上用不同频率分离。下面我们将以DTC在现实中的应用为例来讨论JPEG压缩的基本过程。在普通背景下，JEPG图像压缩依靠把图像分成一个个8*8像素的小块来传输，明白这些非常重要。这个标准在JPEG的发展阶段因为两个主要的原因被采纳。首先，较大块的处理被计算机执行比较缓慢。其次，专家们观察到利用大块并没有产生明显更大的压缩。在这一点上，我们已经讨论了一维DCT变换，但是对于图像压缩中的应用，我们将使用二维DCT。二维DCT可以很容易地从一维DCT计算出来，计算公式如下：其中u是包含在区间[0，n-1]，V是包含在[0，m-1]。数学家在一般情况下使用的时候，DCT是表达了上述公式。然而，在计算机程序中使用时，它建立的DCT矩阵进行转换更有效。事实上，电脑可以通过1/8的DCT计算和1/4的数量增加来。给出的DCT矩阵为：结论总之，离散余弦变换提供了一个数学和空间数据计算方法，到不同区域划分它的重要性关于视觉质量，并准确和全面的高品质压缩，DCT的傅里叶变换的性质很多，如正交性和相应的关系，遵循Parseval's和Plancheral关系规则。它的逆变换IDCT，允许一帧图像重建，已编码的DCT变换，因此转换回时域。尽管它与傅立叶变换相似，但是已证明DCT申请用途是更为实际和有效的，它通常是图像压缩的JPEG和MPEG文件的灵魂。参考书目埃尔南德斯，欧金尼奥和Guido魏斯。关于小波课程。博卡拉顿，佛罗里达州：CRC出版社，1996。第20-30，432-442页。林，埃德蒙Y.和约瑟夫W·古德曼。“离散余弦变换域对散焦图像复原。“应用光学。37，6213-6218（1998）。米切尔，琼湖和威廉B彭纳贝克。MPEG视频压缩标准。纽约，纽约：查普曼和霍尔，1997。第33-49页。纳尔逊，马克和Jean-Loup的凯丽。数据压缩书。纽约NY：图书，1996。326-344页。沃森，安德鲁。“图像压缩技术，离散余弦变换。“美国航空航天局艾姆斯研究中心。Wickerhouser，姆拉登胜利者。改编自小波理论分析软件。纽约：支AK彼得斯有限公司，1994。83-101页。